Question

如圖所示，等腰△ABC的底邊AB=6

6

，高CD=3，點(diǎn)E是線段BD上異于點(diǎn)B，D的動點(diǎn)，點(diǎn)F在BC邊上，且EF⊥AB，現(xiàn)沿EF將△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AC，記BE=x，V（x）表示四棱錐P-ACFE的體積．
（1）求V（x）的表達(dá)式；
（2）當(dāng)x為何值時(shí)，V（x）取得最大值？
（3）當(dāng)V（x）取得最大值時(shí)，求異面直線AC與PF所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）先求底面面積，再求出高，即可求V（x）的表達(dá)式；
（2）利用導(dǎo)數(shù)，來求V（x）的最大值，
（3）過F作MF∥AC交AD于M，得到異面直線所成的角，然后求異面直線AC與PF所成角的余弦值．

解答：解：（1）由折起的過程可知，PE⊥平面ABC，
S△ABC=9

6

，S△BEF=

x2

54

•S△BDC=

6

12

x2
V（x）=

6

3

x(9-

1

12

x2)（0＜x＜3

6

）

（2）V′(x)=

6

3

(9-

1

4

x2)，所以x∈（0，6）時(shí)，v'（x）＞0，V（x）單調(diào)遞增；
6＜x＜3

6

時(shí)v'（x）＜0，V（x）單調(diào)遞減；
因此x=6時(shí)，V（x）取得最大值12

6

；
（3）過F作MF∥AC交AD與M，
則

BM

AB

=

BF

BC

=

BE

BD

=

BE

1 2 AB

，MB=2BE=12，
PM=6

2

，MF=BF=PF=

6

3 6

BC=

6

3

54+9

=

42

，
在△PFM中，cos∠PFM=

84-72

84

=

1

7

，
∴異面直線AC與PF所成角的余弦值為

1

7

．

點(diǎn)評：本題考查幾何體的體積，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，異面直線所成的角，考查空間想象能力、邏輯思維能力，是中檔題．