Question

16、對(duì)于直角坐標(biāo)平面內(nèi)任意兩點(diǎn)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），定義它們之間的一種“新距離”：|AB|=|x₂-x₁|+|y₂-y₁|．給出下列三個(gè)命題：
①若點(diǎn)C在線段AB上．則|AC|+|BC|=|AB|；
②在△ABC中，若∠C=90°，則|AC|²+|CB|²=|AB|²；
③在△ABC中，|AC|+|CB|＞|AB|．
其中的真命題為（　　）

A、①②③

B、①②

C、①

D、②③

Answer 1

分析：對(duì)于①若點(diǎn)C在線段AB上，設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為（x₀，y₀）然后代入驗(yàn)證顯然|AC|+|CB|=|AB|成立．成立故正確．
對(duì)于②平方后不能消除x₀，y₀，命題不成立；
對(duì)于③在△ABC中，用坐標(biāo)表示|AC|+|CB|然后根據(jù)絕對(duì)值不等式可得到大于|AB|不成立，故可得到答案．

解答：解：對(duì)于直角坐標(biāo)平面內(nèi)的任意兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
定義它們之間的一種“距離”：|AB|=|x₂-x₁|+|y₂-y₁|．
對(duì)于①若點(diǎn)C在線段AB上，設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為（x₀，y₀），x₀在x₁、x₂之間，y₀在y₁、y₂之間，
則|AC|+|CB|=|x₀-x₁|+|y₀-y₁|+|x₂-x₀|+|y₂-y₀|=|x₂-x₁|+|y₂-y₁|=|AB|成立，故①正確．
對(duì)于②平方后不能消除x₀，y₀，命題不成立；
對(duì)于③在△ABC中，|AC|+|CB|=|x₀-x₁|+|y₀-y₁|+|x₂-x₀|+|y₂-y₀|≥|（x₀-x₁）+（x₂-x₀）|+|（y₀-y₁）+（y₂-y₀）|=|x₂-x₁|+|y₂-y₁|=|AB|．③不一定成立
∴命題①成立，
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查新定義的問(wèn)題，對(duì)于此類型的題目需要認(rèn)真分析題目的定義再求解，切記不可脫離題目要求．屬于中檔題目．本題的易錯(cuò)點(diǎn)在于不等式：|a|+|b|≥|a+b|忘記等號(hào)也可以成立．