Question

某商品每件成本9元，售價(jià)為30元，每星期賣出144件. 如果降低價(jià)格，銷售量可以增加，且每星期多賣出的商品件數(shù)與商品單價(jià)的降低值（單位：元，）的平方成正比.

已知商品單價(jià)降低2元時(shí)，一星期多賣出8件．

（1）將一個(gè)星期的商品銷售利潤表示成的函數(shù)；

（2）如何定價(jià)才能使一個(gè)星期的商品銷售利潤最大？

 

Answer 1

（1）（2）見解析

【解析】

試題分析：（1）先設(shè)商品降價(jià)x元，寫出多賣的商品數(shù)，則可計(jì)算出商品在一個(gè)星期的獲利數(shù)，再依題意：“商品單價(jià)降低2元時(shí)，一星期多賣出24件”求出比例系數(shù)即可得一個(gè)星期的商品銷售利潤表示成x的函數(shù)；

（2）根據(jù)（1）中得到的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其極值，從而救是f（x）達(dá)到極大值．從而得出所以定價(jià)為多少元時(shí)，能使一個(gè)星期的商品銷售利潤最大．

試題解析：【解析】
（1）設(shè)商品降價(jià)元，則每個(gè)星期多賣的商品數(shù)為，若記商品在一個(gè)星期的獲利為，則依題意有， 3分

又由已知條件，，于是有， 5分

所以 6分

（2）由（1）得 7分

當(dāng)變化時(shí)，與的變化如下表：

		2		12
	↘	極小	↗	極大	↘

10分

故時(shí)，達(dá)到極大值．因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720372791274710/SYS201411172037327097404290_DA/SYS201411172037327097404290_DA.020.png">，，

所以定價(jià)為元能使一個(gè)星期的商品銷售利潤最大． 13分

考點(diǎn)：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用．