在邊長(zhǎng)為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E、F分別為AB與C1D1的中點(diǎn).
(1)求證:四邊形A1ECF是菱形;
(2)求證:EF⊥平面A1B1C;
(3)求A1B1與平面A1ECF所成角的正切值.
(1)證明:取A1B1的中點(diǎn)G,連接C1G、GE.
∵A1GFC1且A1G=FC1,∴A1GC1F是平行四邊形.
∴A1FC1G.同理C1GCE.∴A1FCE.
由勾股定理算得A1E=A1F=CE=CF=
5
2
a,∴四邊形A1ECF是菱形.
(2)證明:連接C1B,∵E、F分別為AB與C1D1的中點(diǎn),
∴C1F=BE.又C1FBE,
∴C1FEB為平行四邊形.∴C1BEF.而C1B⊥B1C,
∴EF⊥B1C.又四邊形A1ECF是菱形,∴EF⊥A1C.∴EF⊥面A1B1C.
(3)由(2)知,EF⊥平面A1B1C,又EF?平面A1ECF,
∴平面A1B1C⊥平面A1ECF.∴B1在平面A1ECF上的射影在線段A1C上.
∴∠B1A1C就是A1B1與平面A1ECF所成的角.
∵A1B1⊥B1C,在Rt△A1B1C中,tan∠B1A1C=
B1C
A1B1
=
2

∴A1B1與平面A1ECF所成角的正切值為
2
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在邊長(zhǎng)為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E、F分別為AB與C1D1的中點(diǎn).
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2
2
a
2
2
a

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