Question

7．如圖，某地區(qū)有一塊長(zhǎng)方形植物園ABCD，AB=8（百米），BC=4（百米），植物園西側(cè)有一塊荒地，現(xiàn)計(jì)劃利用該荒地?cái)U(kuò)大植物園面積，使得新的植物園為HBCEFG滿足下列要求：E在CD的延長(zhǎng)線上，H在BA的延長(zhǎng)線上，DE=0.5（百米），AH=4（百米），N為AH的中點(diǎn)，F(xiàn)N⊥AH，EF為曲線段，它上面的任意一點(diǎn)到AD與AH的距離乘積為定值，F(xiàn)G，GH均為線段，GH⊥HA，GH=0.5（百米）．
（1）求四邊形FGHN的面積；
（2）已知音樂廣場(chǎng)M在AB上，AM=2（百米），若計(jì)劃在EFG的某一處P開一個(gè)植物園大門，在原植物園ABCD內(nèi)選一點(diǎn)Q，為中心建一個(gè)休息區(qū)，使得QM=PM，且∠QMP=90°，問點(diǎn)P在何處，AQ最�。�

Answer 1

分析 （1）建立坐標(biāo)系，根據(jù)E點(diǎn)坐標(biāo)得出曲線EF的方程，從而得出F點(diǎn)坐標(biāo)，代入梯形的面積公式即可；
（2）設(shè)P（x，y），用x，y表示出$\overrightarrow{MQ}$，$\overrightarrow{AQ}$，根據(jù)Q點(diǎn)位置求出x的范圍得出P在曲線EF上，利用距離公式和基本不等式的性質(zhì)得出AQ最小時(shí)的x的值即可得出P點(diǎn)位置．

解答 解：（1）以A為原點(diǎn)，以AB，AD所在直線為坐標(biāo)軸建立平面直角坐標(biāo)系xOy，如圖所示：
則E（-$\frac{1}{2}$，4），∴曲線EF的方程為y=-$\frac{2}{x}$，
∴F（-2，1），N（-2，0），H（-4，0），G（-4，$\frac{1}{2}$），
∴FN=1，GH=$\frac{1}{2}$，HN=2，
∴四邊形FGHN的面積為S=$\frac{1}{2}×（\frac{1}{2}+1）×2$=$\frac{3}{2}$（平方百米）．
（2）設(shè)P（x，y），則$\overrightarrow{MP}$=（x-2，y），$\overrightarrow{MQ}$=（y，2-x），$\overrightarrow{AQ}$=（2+y，2-x），
∴$\left\{\begin{array}{l}{0≤2+y≤8}\\{0≤2-x≤4}\end{array}\right.$，解得-2≤x≤2，
∴P點(diǎn)在曲線EF上，-2≤x≤-$\frac{1}{2}$，∴y=-$\frac{2}{x}$，
∴|AQ|=$\sqrt{（2+y）^{2}+（2-x）^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+\frac{4}{{x}^{2}}-4x-\frac{8}{x}+8}$=$\sqrt{（x+\frac{2}{x}）^{2}-4（x+\frac{2}{x}）+4}$=$\sqrt{（x+\frac{2}{x}-2）^{2}}$=-x-$\frac{2}{x}$+2≥2$\sqrt{2}$+2，
當(dāng)且僅當(dāng)-x=$\frac{2}{-x}$即x=-$\sqrt{2}$時(shí)取等號(hào)．
∴當(dāng)P為（-$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$）時(shí)，|AQ|最�。�

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的應(yīng)用，不等式的性質(zhì)，屬于中檔題．