Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=n（n+1）（n∈N^*）．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{b_n}滿足：，求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）令（n∈N^*），求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

解：（Ⅰ）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=2，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=n（n+1）-（n-1）n=2n，
知a₁=2滿足該式，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=2n．（2分）
（Ⅱ）∵（n≥1）①
∴②（4分）
②-①得：，
b_n+1=2（3ⁿ⁺¹+1），
故b_n=2（3ⁿ+1）（n∈N^*）．（6分）
（Ⅲ）=n（3ⁿ+1）=n•3ⁿ+n，
∴T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n=（1×3+2×3²+3×3³+…+n×3ⁿ）+（1+2+…+n）（8分）
令H_n=1×3+2×3²+3×3³+…+n×3ⁿ，①
則3H_n=1×3²+2×3³+3×3⁴+…+n×3ⁿ⁺¹②
①-②得：-2H_n=3+3²+3³+…+3ⁿ-n×3ⁿ⁺¹
=
∴，…（10分）
∴數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和…（12分）
分析：（Ⅰ）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=2，當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=n（n+1）-（n-1）n=2n，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）由（n≥1），知，所以，由此能求出b_n．
（Ⅲ）=n（3ⁿ+1）=n•3ⁿ+n，所以T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n=（1×3+2×3²+3×3³+…+n×3ⁿ）+（1+2+…+n），令H_n=1×3+2×3²+3×3³+…+n×3ⁿ，由錯(cuò)位相減法能求出，由此能求出數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和．
點(diǎn)評：本題首先考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本量、通項(xiàng)，結(jié)合含兩個(gè)變量的不等式的處理問題，對數(shù)學(xué)思維的要求比較高，要求學(xué)生理解“存在”、“恒成立”，以及運(yùn)用一般與特殊的關(guān)系進(jìn)行否定，本題有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，易出錯(cuò)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意錯(cuò)位相減法的靈活運(yùn)用．