【題目】如圖,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,DB=BC,DB⊥AC,點M是棱BB1上一點.
(1)求證:B1D1∥平面A1BD;
(2)求證:MD⊥AC;
【答案】(1)見解析;(2)見解析.
【解析】試題分析:(1)在平面A1BD內(nèi)找到和B1D1平行的直線BD即可.利用線線平行來推線面平行;(2)先利用條件BB1⊥AC和BD⊥AC證得AC⊥面BB1D,再證明MD⊥AC即可;(3)因為棱BB1上最特殊的點是中點,所以先看中點.取DC的中點N,D1C1的中點N1,連接NN1交DC1于O,BN⊥DC面ABCD⊥面DCC1D1,BN⊥面DCC1D1.而又可證得BN∥OM,所以可得OM⊥平面CC1D1D平面DMC1⊥平面CC1D1D.
詳解:(1)證明:由直四棱柱,得BB1∥DD1且BB1=DD1,所以BB1D1D是平行四邊形,
所以B1D1∥BD.
而BD平面A1BD,B1D1平面A1BD,
所以B1D1∥平面A1BD.
(2)證明:因為BB1⊥面ABCD,AC面ABCD,所以BB1⊥AC,
又因為BD⊥AC,且BD∩BB1=B,
所以AC⊥面BB1D,
而MD面BB1D,所以MD⊥AC.
(3)當(dāng)點M為棱BB1的中點時,平面DMC1⊥平面CC1D1D
取DC的中點N,D1C1的中點N1,連接NN1交DC1于O,連接OM.
因為N是DC中點,BD=BC,所以BN⊥DC;又因為DC是面ABCD與面DCC1D1的交線,而面ABCD⊥面DCC1D1,
所以BN⊥面DCC1D1.
又可證得,O是NN1的中點,所以BM∥ON且BM=ON,即BMON是平行四邊形,所以BN∥OM,所以O(shè)M⊥平面CC1D1D,因為OM面DMC1,所以平面DMC1⊥平面CC1D1D.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知橢圓C: 的右頂點為A,離心率為e,且橢圓C過點 ,以AE為直徑的圓恰好經(jīng)過橢圓的右焦點.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)已知動直線l(直線l不過原點且斜率存在)與橢圓C交于P,Q兩個不同的點,且△OPQ的面積S=1,若N為線段PQ的中點,問:在x軸上是否存在兩個定點E1 , E2 , 使得直線NE1與NE2的斜率之積為定值?若存在,求出E1 , E2的坐標(biāo);若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線 的頂點在原點 ,對稱軸是 軸,且過點 .
(Ⅰ)求拋物線 的方程;
(Ⅱ)已知斜率為 的直線 交 軸于點 ,且與曲線 相切于點 ,點 在曲線 上,且直線 軸, 關(guān)于點 的對稱點為 ,判斷點 是否共線,并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓與y軸交于O,A兩點,圓C2過O,A兩點,且直線C2O與圓C1相切;
(1)求圓C2的方程;
(2)若圓C2上一動點M,直線MO與圓C1的另一交點為N,在平面內(nèi)是否存在定點P使得PM=PN始終成立,若存在求出定點坐標(biāo),若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù) ,若函數(shù) 在x=1處與直線 相切.
(Ⅰ)求實數(shù)a,b的值;
(Ⅱ)求函數(shù) 在 上的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2002年國際數(shù)學(xué)家大會在北京召開,會標(biāo)是以我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖為基礎(chǔ)設(shè)計.弦圖是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形(如圖)如果小正方形的邊長為1,大正方形的邊長為5,直角三角形中較小的銳角為,則 ( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知命題p:實數(shù)x滿足 ,其中 ;和命題q:實數(shù)x滿足 .
(1)若a=1且p∧q為真,求實數(shù)x的取值范圍;
(2)若-p是-q的充分不必要條件,求實數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列命題:
①“四邊相等的四邊形是正方形”的否命題;
②“梯形不是平行四邊形”的逆否命題;
③“若 ,則 ”的逆命題.
其中真命題是.
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