Question

今年的中秋國慶假期是實施免收小型客車高速通行費政策后的第一個重大節(jié)假日，10月3日福州有一個群名為“天狼星”的自駕游車隊，組織車友前往橫店游玩．該車隊是由31輛車身長都約為5m（以5m計算）的同一車型組成的，行程中經(jīng)過一個長為2725m的隧道（通過該隧道的車速不能超過25m/s），勻速通過該隧道，設(shè)車隊的速度為xm/s，根據(jù)安全和車流的需要，當(dāng)0＜x≤12時，相鄰兩車之間保持20m的距離；
當(dāng)12＜x≤25時，相鄰兩車之間保持（

1

6

x²+

1

3

x）m的距離．自第1輛車車頭進(jìn)入隧道至第31輛車車尾離開隧道所用的時間為y（s）．
（1）將y表示為x的函數(shù)；
（2）求該車隊通過隧道時間y的最小值及此時車隊的速度．

Answer 1

分析：（1）利用當(dāng)0＜x≤12時，相鄰兩車之間保持20m的距離；當(dāng)12＜x≤25時，相鄰兩車之間保持（

1

6

x²+

1

3

x）m的距離，可得分段函數(shù)；
（2）分段求出函數(shù)的最小值，即可得到分段函數(shù)的最小值．

解答：解：（1）∵當(dāng)0＜x≤12時，相鄰兩車之間保持20m的距離；當(dāng)12＜x≤25時，相鄰兩車之間保持（

1

6

x²+

1

3

x）m的距離
∴當(dāng)0＜x≤12時，y=

2725+5×31+20×(31-1)

x

=

3480

x

；
當(dāng)12＜x≤25時，y=

2725+5×31+( 1 6 x2+ 1 3 x)×(31-1)

x

=5x+

2880

x

+10
∴y=

3480 x ，0＜x≤12 5x+ 2880 x +10，12＜x≤25

；
（2）當(dāng)0＜x≤12時，y=

3480

x

，∴x=12m/s時，y_min=290s；
當(dāng)12＜x≤25時，y=5x+

2880

x

+10≥2

5x• 2880 x

+10=250s
當(dāng)且僅當(dāng)5x=

2880

x

，即x=24m/s時取等號，即x=24m/s時，y_min=250s
∵290＞250，∴x=24m/s時，y_min=250s．

點評：本題考查分段函數(shù)模型的構(gòu)建，考查學(xué)生利用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力，屬于中檔題．