Question

設(shè)橢圓C₁：

x2

5

+

y2

4

=1的左、右焦點(diǎn)分別是F₁、F₂，下頂點(diǎn)為A，線段OA的中點(diǎn)為B（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），如圖．若拋物線C₂：y=mx²-n（m＞0，n＞0）與y軸的交點(diǎn)為B，且經(jīng)過(guò)F₁，F(xiàn)₂點(diǎn)．
（Ⅰ）求拋物線C₂的方程；
（Ⅱ）設(shè)M（0，-

4

5

），N為拋物線C₂上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)N作拋物線C₂的切線交橢圓C₁于P、Q兩點(diǎn)，求△MPQ面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）由題設(shè)條件知n=1，再由F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），故m=1，由此可求出拋物線C₂的方程．
（2）先寫(xiě)出直線PQ的方程，代入橢圓方程整理得關(guān)于x的一元二次方程．然后利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合題設(shè)條件進(jìn)行求解．最后利用求函數(shù)最值的方法即可求得△MPQ面積的最大值．

解答：解：（1）由題意可知B（0，-1），則A（0，-2），故n=1．
又F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），故m=1．
所以拋物線C₂的方程為：y=x²-1（15分）
（2）設(shè)N（t，t²-1），
由于y'=2x知直線PQ的方程為：y-（t²-1）=2t（x-t）．
即y=2tx-t²-1．（7分）
代入橢圓方程整理得：4（1+5t²）x²-20t（t²+1）x+5（t²+1）²-20=0，
△=400t²（t²+1）²-80（1+5t²）[（t²+1）²-4]=80（-t⁴+18t²+3），x1+x2=

5t(t2+1)

1+5t2

，x1x2=

5(t2+1)2-20

4(1+5t2)

，
故|PQ|=

1+4t2

|x1-x2|=

1+4t2

.

(x1+x2)2-4x1x2

=

5 • 1+4t2 • -t4+18t2+3

1+5t2

．（10分）
設(shè)點(diǎn)M到直線PQ的距離為d，
則d=

|+ 4 5 -t2-1|

1+4t2

=

|t2+ 1 5 |

1+4t2

．（12分）
所以，△MPQ的面積
S=

1

2

|PQ|•d=

1

2

5 • 1+4t2 • -t4+18t2+3

1+5t2

•

t2+ 1 5

1+4t2

=

5

10

-t4+18t2+3

=

5

10

-(t2-9)2+84

≤

5

10

84

=

105

5

（14分）
當(dāng)t=±3時(shí)取到“=”，經(jīng)檢驗(yàn)此時(shí)△＞0，滿足題意．
綜上可知，△MPQ的面積的最大值為

105

5

．（15分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓錐曲線和直線的位置關(guān)系和綜合應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意韋達(dá)定理的合理運(yùn)用．