Question

已知函數(shù)f（x）=x²-2ax+3在區(qū)間[0，1]上的最大值是g（a），最小值是p（a）．
（1）寫(xiě)出g（a）和p（a）的解析式．
（2）當(dāng)函數(shù)f（x）的最大值為3、最小值為2時(shí)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)所給的二次函數(shù)的性質(zhì)，寫(xiě)出對(duì)于對(duì)稱軸所在的區(qū)間不同時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)的最大值，是一個(gè)分段函數(shù)形式，同理寫(xiě)出函數(shù)的最小值也是一個(gè)分段函數(shù)的形式．
（2）當(dāng)時(shí)，g（a）=f（x）_max=f（0）=3，p（a）=f（x）_min=3-a²=2，解得a=1；當(dāng)a＞1時(shí)，g（a）=f（x）_max=f（0）=3，p（a）=f（x）_min=4-2a=2，解得a=1（舍），得到結(jié)果．
解答：解：（1）f（x）=（x-a）²+3-a²．
當(dāng)時(shí)，g（a）=f（x）_max=f（1）=4-2a；
當(dāng)時(shí)，g（a）=f（x）_max=f（0）=3；
所以
當(dāng)a＜0時(shí)，p（a）=f（x）_min=f（0）=3；
當(dāng)0≤a＜1時(shí)，p（a）=f（x）_min=3-a²；
當(dāng)a≥1時(shí)，p（a）=f（x）_min=f（1）=4-2a；
所以
（2）當(dāng)時(shí)，g（a）=f（x）_max=f（0）=3，p（a）=f（x）_min=3-a²=2，
解得a=1；
當(dāng)a＞1時(shí)，g（a）=f（x）_max=f（0）=3，p（a）=f（x）_min=4-2a=2，解得a=1（舍）．
當(dāng)時(shí)，驗(yàn)證知不符合題意．
所以a=1就是所求值．
點(diǎn)評(píng)：本題看出二次函數(shù)的性質(zhì)，針對(duì)于函數(shù)的對(duì)稱軸是一個(gè)變化的值，需要對(duì)對(duì)稱軸所在的區(qū)間進(jìn)行討論，本題是一個(gè)綜合題目，是一個(gè)易錯(cuò)題．