已知圓，圓上各點的縱坐標保持不變，橫坐標伸長到原來的倍，得一橢圓E，

(1)求橢圓E的方程，并證明橢圓E的離心率是與無關的常數(shù)；

(2)若m=1，是否存在直線過P(0，2)，與橢圓交于M、N兩點，且滿足=0(O為坐標原點)?若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由．

解：(1)設M(u，)是圓上任一點，N(，y)是橢圓上的對應點，

則=u，y=，即代入圓方程得．

即橢圓E的方程為，橢圓的長半軸為m，短半軸長為m,

半焦距為m.離心率與m無關。

(2)橢圓方程為．

假設存在直線：（k存在，且k≠0），代入橢圓方程．

整理，得(1+

    ∴△=()2－36(1+3)>0．

    解得<一1或>1．    ①

    設M(，)，  (，)，則+=－，=

∵

∴+=0

即+(k+2)(k+2)=0，∴(1+k2 ) +2k(+)+4=0

∴

解得,滿足式①，∴滿足條件的直線存在，其方程為=

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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=2
3
sinωxcosωx+1-2sin2ωx(ω＞0)，且函數(shù)f（x）的最小正周期為π．
（1）若x∈(-
π
6
，π]，求函數(shù)f（x）的單調遞減區(qū)間；
（2）將函數(shù)y=f（x）的圖象上各點的縱坐標保持不變，橫坐標縮短到原來的
1
2
，把所得到的圖象再向左平移
π
6
個單位，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求函數(shù)y=g（x）在區(qū)間[0，
π
8
]上的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
m
=(2sinx，2cosx)，
n
=(
3
cosx，cosx)，f(x)=
m
•
n
-1．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調遞增區(qū)間；
（2）將函數(shù)y=f（x）的圖象上各點的縱坐標保持不變，橫坐標先縮短到原來的
1
2
，把所得到的圖象再向左平移
π
6
單位，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求函數(shù)y=g（x）在區(qū)間[0，
π
8
]上的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知
m
=(2sinx，2cosx)，
n
=(
3
cosx，cosx)，f(x)=
m
•
n
-1
（1）求函數(shù)y=f（x）的最小正周期和單調遞增區(qū)間；
（2）將函數(shù)y=f（x）的圖象上各點的縱坐標保持不變，橫坐標先縮短到原來的
1
3
，把所得到的圖象再向右平移
π
12
單位，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求函數(shù)y=g（x）在區(qū)間[0，
π
12
]上的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•烏魯木齊一模）選修4-4：坐標系與參數(shù)方程
將圓x2+y2=4上各點的縱坐標壓縮至原來的
12
，所得曲線記作C；將直線3x-2y-8=0繞原點逆時針旋轉90°所得直線記作l．
（I）求直線l與曲線C的方程；
（II）求C上的點到直線l的最大距離．

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