Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax+b的圖象是曲線C，曲線C在點(diǎn)（1，3）處的切線與直線y=2x+3平行．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間；
（3）求函數(shù)F（x）=f（x）-2x-3在區(qū)間[0，2]上的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用f（x）的導(dǎo)函數(shù)及切點(diǎn)橫坐標(biāo)，求出a的值；再利用切點(diǎn)求出b的值．最后代入即可得f（x）的解析式．
（2）通過在函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)大于零，求出x的取值范圍．
（3）通過函數(shù)F（x）的導(dǎo)函數(shù)F'（x）=0，求出函數(shù)的極值．列出x，F(xiàn)'（x），F(xiàn)（x）關(guān)系表，通過觀察可知F（x）在區(qū)間[0，2]最大和最小值．
解答：解：（1）根據(jù)題意：．∵f'（x）=3x²+a
∴f'（1）=3+a=2得a=-1
由f（1）=3得1+a+b=3，∴b=3
∴f（x）=x³-x+3．
（2）由f（x）=x³-x+3得f'（x）=3x²-1，
令f'（x）=3x²-1＞0，解得或．
∴函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間為，．
（3）F（x）=x³-3x，F(xiàn)'（x）=3x²-3
令F'（x）=3x²-3=0，得x₁=-1，x₂=1．
列出x，F(xiàn)'（x），F(xiàn)（x）關(guān)系如下：

x		（0，1）	1	（1，2）	2
F'（x）		-		+
F（x）		遞減	極小值-2	遞增	2

∴當(dāng)x∈[0，2]時，F(xiàn)（x）的最大值為2，最小值為-2
點(diǎn)評：本題主要考查了用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式．解此類題常用到導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)的關(guān)系來解決問題．