Question

已知動點(diǎn)P的軌跡為曲線C，且動點(diǎn)P到兩個定點(diǎn)F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）的距離|

PF1

|，|

PF2

|的等差中項(xiàng)為

2

．
（1）求曲線C的方程；
（2）直線l過圓x²+y²+4y=0的圓心Q與曲線C交于M，N兩點(diǎn)，且

ON

•

OM

=0(O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線l的方程；
（3）設(shè)點(diǎn)A(1，

1

2

)，點(diǎn)P為曲線C上任意一點(diǎn)，求|

PA

|+

2

|

PF2

|的最小值，并求取得最小值時點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）利用已知條件推斷出|

PF1

|+|

PF2

|的值，進(jìn)而求得橢圓方程中的長軸長，則a可求，利用定點(diǎn)坐標(biāo)求得焦距，則b可求得，最后求得橢圓的方程．
（2）設(shè)出M，N的坐標(biāo)，利用

ON

•

OM

=0(O判斷出x₁x₂+y₁y₂=0設(shè)出直線l的方程代入橢圓的方程消去y，利用韋達(dá)定理表示出x₁x₂和x₁+x₂利用直線方程求得y₁y₂，代入x₁x₂+y₁y₂=0求得k，則直線l的方程可得．
（3）先利用橢圓的第二定義表示出到焦點(diǎn)與準(zhǔn)線的距離求得點(diǎn)P到右準(zhǔn)線的距離與|

PF2

|的關(guān)系式，進(jìn)而推斷出此時|

PA

|+d的最小值為點(diǎn)A到右準(zhǔn)線x=2的距離，則點(diǎn)P的坐標(biāo)和最小距離可求得．

解答：解：（1）據(jù)已知|

PF1

|+|

PF2

|=2

2

，
所求曲線C是橢圓，長軸2a=2

2

，a=

2

，c=1，
所以橢圓的方程為

x2

2

+y2=1．
（2）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由

ON

•

OM

=0?x1x2+y1y2=0，
設(shè)l：y=kx-2，
y₁=kx₁-2，y₂=kx₂-2，y₁y₂=k²x₁•x₂-2k（x₁+x₂）+4，
（1+k²）x₁x₂-2k（x₁+x₂）+4=0（*）．
聯(lián)立

x2

2

+y2=1，得x²+2（kx-2）²=2，
x₁，x₂為上述方程的兩根，
∴x1x2=

6

1+2k2

，x1+x2=

8k

1+2k2

代入（*）得k2=5?k=±

5

，
所求直線l為：

5

x-y-2=0或

5

x+y+2=0
（3）橢圓的右準(zhǔn)線為x=2，設(shè)點(diǎn)P到右準(zhǔn)線的距離為d，
則

| PF2 |

d

=

2

2

?d=

2

|

PF2

|，|

PA

|+

2

|

PF2

|=|

PA

|+d，
此時|

PA

|+d的最小值為點(diǎn)A到右準(zhǔn)線x=2的距離，(|

PA

|+d)min=1，
此時點(diǎn)P的坐標(biāo)為(

6

2

，

1

2

)．

點(diǎn)評：本題主要考查了橢圓的簡單性質(zhì)，橢圓與直線的關(guān)系．考查了考生分析問題和解決問題的能力．