Question

5．對于函數(shù)y=f（x），若存在區(qū)間[a，b]，當x∈[a，b]時的值域為[ka，kb]（k＞0），則稱y=f（x）為k倍值函數(shù)．若f（x）=lnx+x是k倍值函數(shù)，則實數(shù)k的取值范圍是（　�。�

• A． $（{0，1+\frac{1}{e}}）$
• B． $（{1，1+\frac{1}{e}}）$
• C． （1，1+e）
• D． （1，1+e²）

Answer 1

分析 由于f（x）在定義域{x|x＞0} 內(nèi)為單調(diào)增函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得g（x）的極大值為：g（e）=1+$\frac{1}{e}$，當x趨于0時，g（x）趨于-∞，當x趨于∞時，g（x）趨于1，因此當1＜k＜1+$\frac{1}{e}$時，直線y=k與曲線y=g（x）的圖象有兩個交點，滿足條件，從而求得k的取值范圍．

解答 解：∵f（x）=lnx+x，定義域為{x|x＞0}，f（x）在定義域為單調(diào)增函數(shù)，
因此有：f（a）=ka，f（b）=kb，即：lna+a=ka，lnb+b=kb，即a，b為方程lnx+x=kx的兩個不同根．
∴k=1+$\frac{lnx}{x}$
令 k=1+$\frac{lnx}{x}$=g（x），
再令 g'（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$=0，
可得極大值點x=e，故g（x）的極大值為：g（e）=1+$\frac{1}{e}$，
當x趨于0時，g（x）趨于-∞，當x趨于∞時，g（x）趨于1，
因此當1＜k＜1+$\frac{1}{e}$ 時，直線y=k與曲線y=g（x）的圖象有兩個交點，方程 k=1+$\frac{lnx}{x}$有兩個解．
故所求的k的取值范圍為（1，1+$\frac{1}{e}$），
∴答案為 （1，1+$\frac{1}{e}$）．
故選：B．

點評 本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的值的方法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．