Question

如圖，在四棱錐O-ABCD中，AD∥BC，AB=AD=2BC，OB=OD，M是OD的中點(diǎn)．
求證：（Ⅰ）直線MC∥平面OAB；
（Ⅱ）直線BD⊥直線OA．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)N是OA的中點(diǎn)，連接MN，NB，依據(jù)題設(shè)條件證明四邊形MNBC是平行四邊形，以得到直線MC∥平面OAB的條件，用線面平行的判定定理證之；
（2）設(shè)H是BD的中點(diǎn)，連接AH，OH，在這個(gè)等腰三角形中證明BD與AH，OH垂直，下用線面垂直的判定定理證明．
解答：證明：（1）設(shè)N是OA的中點(diǎn)，連接MN，NB，
因?yàn)镸是OD的中點(diǎn)，
所以MN∥AD，且2MN=AD，
又AD∥BC，AD=2BC，
所以MNBC是平行四邊形，
所以MC∥NB，
又MC 不在平面OAB上，NB?平面OAB，
所以直線MC∥平面OAB；（7分）

（2）設(shè)H是BD的中點(diǎn)，連接AH，
因?yàn)锳B=AD，所以AH⊥BD，
又因?yàn)镺B=OD，所以O(shè)H⊥BD
所以BD⊥面OAH
所以BD⊥OA、（14分）
點(diǎn)評(píng)：考查線面平行的判定定理與線面垂直的判定定理，知識(shí)性較強(qiáng)，在每一小題中，亦可用面面平行來證明線面平行，請(qǐng)讀者看看如何構(gòu)造這個(gè)平面．