Question

以下命題正確的是

③④

（填序號(hào)）
①若||x-1|-|x+1||＜0對(duì)任意實(shí)數(shù)x均成立，則a的范圍是a≥2；
②若y=lg（ax²+ax+1）的值域?yàn)镽，則0≤a≤4；
③若f（x）=ax³+blog₂（x+

x2+1

）+2在（-∞，0）有最小值-5（a，b為常數(shù)），則f（x）在（0，+∞）的最大值為9；
④若y=-f（x）的圖象經(jīng)過第三、四象限，那么y=f^-1（x）的圖象經(jīng)過第一、四象限．

Answer 1

分析：由絕對(duì)值的意義可得①不正確．根據(jù)ax²+ax+1＞0恒成立，可得 0≤a＜4，故②不正確．
根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)可得③正確．根據(jù)y=-f（x）的圖象和y=f（x）的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱，y=f（x）的圖象和y=f^-1（x）的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，可得④正確．

解答：解：由于||x-1|-|x+1||＜0 不可能成立，故①不正確．
若y=lg（ax²+ax+1）的值域?yàn)镽，則ax²+ax+1的最小值小于或等于零，
當(dāng)a=0時(shí)，ax²+ax+1=1，不滿足y=lg（ax²+ax+1）的值域?yàn)镽，故②不正確．
令g（x）=ax³+blog₂（x+

x2+1

），則g（x）是奇函數(shù)．
由于f（x）=g（x）+2 在（-∞，0）有最小值-5，故g（x）在（-∞，0）有最小值-7，
設(shè)x＞0，則-x＜0，∴g（-x）≥-7，∴-g（x）≥-7，∴g（x）≤7，
即g（x）在（0，+∞）上有最大值7，g（x）+2≥9．
故f（x）=g（x）+2 在（0，+∞）上有最大值為9，故③正確．
若y=-f（x）的圖象經(jīng)過第三、四象限，y=-f（x）的圖象和y=f（x）的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱，
故y=f（x）的圖象經(jīng)過第一、二象限．
而y=f（x）的圖象和y=f^-1（x）的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，故y=f^-1（x）的圖象經(jīng)過第一、四象限，故④正確．
故答案為 ③④．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查絕對(duì)值的意義，命題的真假的判斷和應(yīng)用，函數(shù)與反函數(shù)圖象間的關(guān)系，屬于中檔題．