Question

已知a，b為常數(shù)，且a≠0，函數(shù)f（x）=axlnx-ax+b，若f（e）=2（其中e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)）；
（Ⅰ）求實數(shù)b的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）當a=1時，若對?x₁，x₂∈[

1

e

，e]，|f（x₁）-f（x₂）|＜C恒成立，求實數(shù)C的取值范圍．

Answer 1

考點：其他不等式的解法,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（Ⅰ）直接利用f（e）=2求得實數(shù)b的值．
（Ⅱ）先求出函數(shù)的導數(shù)f′（x），再根據(jù)f′（x）的符號確定函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（Ⅲ）當a=1時，根據(jù)x在區(qū)間[e^-1，e]內(nèi)變化時，f′（x）的符號的變化情況求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進而求出函數(shù)的最值，結合條件求出C的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）由f（e）=-ae+b+aelne=2，解得b=2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=-ax+2+axlnx，x∈（0，+∞），
∴f′（x）=alnx，∵a≠0，
故（1）當a＞0時，由f′（x）=alnx＞0得x＞1，由f′（x）=alnx＞0得0＜x＜1；
（2）當a＜0時，由f′（x）=alnx＞0得0＜x＜1，由f′（x）=alnx＞0得x＞1；
因而，當a＞0時，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（1，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（0，1），
當a＜0時，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，1），單調(diào)減區(qū)間為（1，+∞）．
（Ⅲ）當a=1時，f（x）=-x+2+xlnx，f′（x）=lnx，令f′（x）=0，則x=1．
當x在區(qū)間[e^-1，e]內(nèi)變化時，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

x	e-1	（e-1，1）	1	（1，e）	e
f′（x）		-	0	+
f（x）	2-2e-1	單調(diào)遞減	極小值1	單調(diào)遞增	2

因為1＜2-2e^-1＜2，所以f（x）在區(qū)間[

1

e

，e]內(nèi)的值域為[1，2]，
對?x1，x2∈[

1

e

，e]，|f(x1)-f(x2)|＜C恒成立，等價于f（x）_max-f（x）_min＜C，
即C＞2-1，故實數(shù)C的取值范圍為（1，+∞）．

點評：本題主要考查函數(shù)與導數(shù)等基礎知識，考查運算求解能力、推理論證能力，考查分類與整合思想、數(shù)形結合思想、函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想等，屬于中檔題．