Question

定義在R上的函數(shù)y=f（x）滿足f(0)=0，f(x)+f(1-x)=1，f(

x

5

)=

1

2

f(x)，且當(dāng)0≤x₁＜x₂≤1時(shí)，f（x₁）≤f（x₂），則f(

1

2013

)=

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)恒等式f（x）+f（1-x）=1，和f（0）=0，賦值求出f（1），進(jìn)而求得f（

1

2

），然后利用f（

1

2

）的值和f（

x

5

）=

1

2

f（x），依次賦值，確定出f（

1

3125

）的值，同理，確定出f（

1

1250

），再根據(jù)題意判斷出函數(shù)在[0，1]上的單調(diào)性，從而限制了f（

1

2013

）的范圍，即可得到f（

1

2013

）的值．

解答：解：∵f（x）+f（1-x）=1，
令x=0，可得f（0）+f（1）=1，又f（0）=0，
∴f（1）=1，
令x=

1

2

，可得f（

1

2

）+f（

1

2

）=1，則f（

1

2

）=

1

2

，
∵f（

x

5

）=

1

2

f（x），
∴f（

1

5

）=

1

2

f（1）=

1

2

，
f（

1

25

）=

1

2

f（

1

5

）=

1

4

，
f（

1

125

）=

1

2

f（

1

25

）=

1

8

，
f（

1

625

）=

1

2

f（

1

125

）=

1

16

，
f（

1

3125

）=

1

2

f（

1

625

）=

1

32

，
再根據(jù)f（

x

5

）=

1

2

f（x），可得
f（

1

10

）=

1

2

f（

1

2

）=

1

4

，
f（

1

50

）=

1

2

f（

1

10

）=

1

8

，
f（

1

250

）=

1

2

f（

1

50

）=

1

16

，
f（

1

1250

）=

1

2

f（

1

250

）=

1

32

，
∵當(dāng)0≤x₁＜x₂≤1時(shí)，f（x₁）≤f（x₂），
∴f（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，
由f（

1

3125

）≤f（

1

2013

）≤f（

1

1250

），且f（

1

3125

）=f（

1

1250

）=

1

32

，
∴f（

1

2013

）=

1

32

．
故答案為：

1

32

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了抽象函數(shù)及其應(yīng)用，利用賦值法求解抽象函數(shù)的函數(shù)值，涉及了函數(shù)單調(diào)性的定義，證明函數(shù)的單調(diào)性要抓住函數(shù)單調(diào)性的定義．本題的關(guān)鍵是利用函數(shù)的單調(diào)性得到函數(shù)值得限制范圍，從而能確定函數(shù)的值．屬于中檔題．