【題目】設(shè)函數(shù),.

(1)當(dāng)(為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))時(shí),求曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程;

(2)討論函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù);

(3)若對(duì)任意恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

【答案】(I) ;(II)見(jiàn)解析;(III)。

【解析】試題分析:(1)當(dāng)時(shí),,,由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出的極小值;(2)由,得,令,則,,由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù);(3)當(dāng)時(shí),上恒成立,由此能求出的取值范圍.

試題解析:(1)當(dāng)時(shí),,所以 ,切點(diǎn)坐標(biāo)為所以曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為.

(2)因?yàn)楹瘮?shù),得,設(shè)所以,當(dāng)時(shí),,此時(shí)上為增函數(shù);當(dāng)時(shí),,此時(shí)上為減函數(shù),所以當(dāng)時(shí),取極大值

,即,解得,由函數(shù)的圖像知:

當(dāng)時(shí),函數(shù)和函數(shù)無(wú)交點(diǎn);

當(dāng)時(shí),函數(shù)和函數(shù)有且僅有一個(gè)交點(diǎn);

當(dāng)時(shí),函數(shù)和函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn);

④當(dāng)時(shí),函數(shù)和函數(shù)有且僅有一個(gè)交點(diǎn)。

綜上所述,當(dāng)時(shí),函數(shù)無(wú)零點(diǎn);

當(dāng)時(shí),函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)

當(dāng)時(shí),函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)

(3)對(duì)任意恒成立,等價(jià)于恒成立,設(shè)上單調(diào)遞減,所以上恒成立,所以上恒成立,因?yàn)?/span>,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),,

所以實(shí)數(shù)的取值范圍.

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(2) 如圖②,點(diǎn)在線(xiàn)段上,且鋪設(shè)電纜的線(xiàn)路為.若,試用表示出總施工費(fèi)用(萬(wàn)元)的解析式,并求的最小值.

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