Question

（2013•汕尾二模）已知數(shù)列{a_n}的首項a₁＞0，an+1=

3an

2an+1

（Ⅰ）若a1=

3

5

，請直接寫出a₂，a₃的值；
（Ⅱ）若a1=

3

5

，求證：{

1

an

-1}是等比數(shù)列并求出{a_n}的通項公式；
（Ⅲ）若a_n+1＞a_n對一切n∈N₊都成立，求a₁的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用a1=

3

5

，an+1=

3an

2an+1

，n取1，2，即可求得a₂，a₃的值；
（Ⅱ）an+1=

3an

2an+1

，兩邊取倒數(shù)，可得數(shù)列{

1

an

-1}是首項為

2

3

，公比為

1

3

的等比數(shù)列，由此可得{a_n}的通項公式；
（Ⅲ）若a_n+1＞a_n對一切n∈N₊都成立，可得

1

a1

-1＞0，又a₁＞0，即可求a₁的取值范圍．

解答：（Ⅰ）解：∵a1=

3

5

，an+1=

3an

2an+1

，∴a2=

3a1

2a1+1

=

9

11

，a，3=

3a2

2a2+1

=

27

29

…（2分）
（Ⅱ）證明：由題意知a_n＞0，

1

an+1

=

2an+1

3an

，
∴

1

an+1

-1=

1

3

(

1

an

-1)，
∵

1

a1

-1=

2

3

  …（4分）
所以數(shù)列{

1

an

-1}是首項為

2

3

，公比為

1

3

的等比數(shù)列…（5分）
∴

1

an

-1=

2

3

(

1

3

)n-1=

2

3n

，
∴an=

3n

3n+2

   …（7分）
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知：

1

an

-1=(

1

a1

-1)(

1

3

)n-1即

1

an

=(

1

a1

-1)(

1

3

)n-1+1…（9分）
由a₁＞0，an+1=

3an

2an+1

知a_n＞0，故a_n+1＞a_n，得

1

an+1

＜

1

an

…（11分）
即(

1

a1

-1)(

1

3

)n+1＜(

1

a1

-1)(

1

3

)n-1+1得

1

a1

-1＞0，…（13分）
又a₁＞0，則0＜a₁＜1…（14分）

點評：本題考查數(shù)列遞推式，考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項，考查恒成立問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力，綜合性強．