Question

數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為s_n，s_n=2a_n-3n（n∈N^*）．
（1）求證數(shù)列{a_n+3}是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）數(shù)列{a_n}中是否存在三項(xiàng)，它們可以構(gòu)成等差數(shù)列．若存在，請(qǐng)給出一組適合條件的項(xiàng)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)a_n+1=S_n+1-S_n，求得a_n+1=2a_n+3，整理可得

an+1+3

an+3

=2判斷出數(shù)列{a_n+3}是等比數(shù)列，
（2）由（1）知數(shù)列{a_n+3}是等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求得a_n+3進(jìn)而求得a_n．
（3）設(shè)存在s，p，r∈N^*，且s＜p＜r，使得a_s，a_p，a_r成等差數(shù)列，根據(jù)等差中項(xiàng)的性質(zhì)可知2a_p=a_s+a_r，利用（2）中的a_n展開(kāi)得2^p+1=2^s+2^r，2^p-s+1=1+2^r-s，進(jìn)而根據(jù)2^p-s+1，2^r-s為偶數(shù)，而1+2^r-s為奇數(shù)，判斷出假設(shè)不成立．故可知不存在這樣的三項(xiàng)．

解答：證明：（1）：因?yàn)镾_n=2a_n-3n，所以S_n+1=2a_n+1-3（n+1），
則a_n+1=2a_n+1-2a_n-3，所以a_n+1=2a_n+3，

an+1+3

an+3

=2，
數(shù)列{a_n+3}是等比數(shù)列，
解：（2）由（1）知數(shù)列{a_n+3}是等比數(shù)列
又a₁=S₁=3，a₁+3=6，
∴a_n+3=6•2^n-1=3•2ⁿ，
所以a_n=3•2ⁿ-3．
（3）設(shè)存在s，p，r∈N^*，且s＜p＜r，使得a_s，a_p，a_r成等差數(shù)列，則2a_p=a_s+a_r，即2（3•2^p-3）=3•2^s-3+3•2^r-3
即2^p+1=2^s+2^r，2^p-s+1=1+2^r-s，2^p-s+1，2^r-s為偶數(shù)，而1+2^r-s為奇數(shù)，
所以2^p+1=2^s+2^r不成立，故不存在滿(mǎn)足條件的三項(xiàng)

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列的遞推式，等比關(guān)系的確定，等比數(shù)列通項(xiàng)公式，等差數(shù)列的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是由題設(shè)中的遞推關(guān)系得出數(shù)列a_n=3•2ⁿ-3，本題第三小題是難點(diǎn)，