Question

下列四個(gè)命題：
①函數(shù)f（x）=xsinx是偶函數(shù)；
②函數(shù)f（x）=sin⁴x-cos⁴x的最小正周期是π；
③把函數(shù)f（x）=3sin（2x+

π

3

）的圖象向右平移

π

6

個(gè)單位長(zhǎng)度可以得到f（x）=3sin2x的圖象；
④函數(shù)f（x）=sin（x-

π

2

）在區(qū)間[0，π]上是減函數(shù)．
其中是真命題的是

①②③

（寫出所有真命題的序號(hào)）．

Answer 1

分析：①研究函數(shù)的奇偶性，可用偶函數(shù)的定義來(lái)證明之；
②先化簡(jiǎn)表達(dá)式，變成一個(gè)角的三角函數(shù)，再根據(jù)公式求出周期；
③函數(shù)f（x）=3sin（2x+

π

3

）=3sin[2（x+

π

6

）]，由此結(jié)合函數(shù)圖象平移的規(guī)律，即可得到結(jié)論；
④化簡(jiǎn)函數(shù)，利用余弦函數(shù)的單調(diào)性，可得結(jié)論．

解答：解：對(duì)于①，由于f（-x）=-xsin（-x）=xsinx=f（x），故函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，①正確；
對(duì)于②，∵f（x）=sin⁴x-cos⁴x=（sin²x+cos²x）（sin²x-cos²x）=sin²x-cos²x=-cos2x，∴f（x）的最小正周期是T=π，故②正確；
對(duì)于③，函數(shù)f（x）=3sin（2x+

π

3

）=3sin[2（x+

π

6

）]，圖象向右平移

π

6

個(gè)單位長(zhǎng)度可以得到f（x）=3sin2x的圖象，故③正確；
對(duì)于④，函數(shù)f（x）=sin（x-

π

2

）=-cosx，在區(qū)間[0，π]上是增函數(shù)，故④不正確，
綜上，真命題為①②③
故答案為：①②③

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的奇偶性、周期性、單調(diào)性，圖象的變換規(guī)律，涉及知識(shí)點(diǎn)多，綜合性強(qiáng)．