Question

已知函數(shù)f（x）=2^x+a•2^-x，x∈（-1，1），其中常數(shù)a≠0．
（1）a=1時(shí)，求f（x）的最小值．
（2）討論函數(shù)的奇偶性．
（3）若f（x+1）＜f（2x）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題,函數(shù)的最值及其幾何意義,函數(shù)奇偶性的判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）把a(bǔ)=1代入函數(shù)解析式，利用基本不等式求最值；
（2）分a=1，a=-1，a≠±1討論函數(shù)的奇偶性；
（3）由已知求得x的范圍，把f（x+1）＜f（2x）轉(zhuǎn)化為2^x+1+a•2^-x-1＜2^2x+a•2^-2x，換元后分離變量得答案．

解答： 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=2^x+2^-x≥2，當(dāng)且僅當(dāng)2^x=2^-x，即x=0時(shí)f（x）取最小值2；
（2）f（-x）=2^-x+a•2^x，-f（x）=-2^x-a•2^-x，
∴當(dāng)a=1時(shí)，f（-x）=f（x），f（x）為偶函數(shù)；
當(dāng)a=-1時(shí)，f（-x）=-f（x），f（x）為奇函數(shù)；
當(dāng)a≠±1時(shí)，f（x）為非奇非偶函數(shù)．
（3）由

-1＜x+1＜1 -1＜2x＜1

，得-

1

2

＜x＜0．
由f（x+1）＜f（2x）恒成立，得
2^x+1+a•2^-x-1＜2^2x+a•2^-2x，
令t=2x∈(

2

2

，1)，有2t+

2t

a

＜t2+

a

t2

，即a(1-

t

2

)＞2t3-t4，

a

2

(2-t)＞t3(2-t)，
∴

a

2

＞t3≥1，
則a≥2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)恒成立問題，考查了函數(shù)奇偶性的判斷，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，訓(xùn)練了利用分離參數(shù)法求參數(shù)的范圍，是中檔題．