Question

2．在數(shù)列{a_n}中，若存在非零整數(shù)T，使得a_m+T=a_m對于任意的正整數(shù)m均成立，那么稱數(shù)列{a_n}為周期數(shù)列，其中T叫做數(shù)列{a_n}的周期，若數(shù)列{x_n}滿足x_n+1=|x_n-x_n-1|（n≥2，n∈N），如x₁=1，x₂=a（a∈R，a≠0），當(dāng)數(shù)列{x_n}的周期最小時(shí)，該數(shù)列的前2016項(xiàng)的和為（　�。�

• A． 672
• B． 673
• C． 1342
• D． 1344

Answer 1

分析 依題意可求得a=1，于是可求得x₁+x₂+x₃=2，x₄+x₅+x₆=2，…x₂₀₁₁+x₂₀₁₂+x₂₀₁₃=2，于是可得S₂₀₁₆的值．

解答 解：∵x₁=1，x₂=a（a≤1，a≠0），x_n+1=|x_n-x_n-1|，
∴x₃=|a-1|，又?jǐn)?shù)列{x_n}的周期為3，
∴x₄=|x₃-x₂|=||a-1|-a|=x₁=1，
解得：a=1或a=0，
∵a≠0，
∴a=1，
∴x₁=1，x₂=1，x₃=0；
即x₁+x₂+x₃=2；
同理可得，x₄=1，x₅=1，x₆=0，
x₄+x₅+x₆=2；
…
x₂₀₁₁+x₂₀₁₂+x₂₀₁₃=2．
x₂₀₁₄+x₂₀₁₅+x₂₀₁₆=2．
∴S₂₀₁₆=x₁+x₂+x₃+…+x₂₀₁₆=672×（1+1+0）=1344．
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的求和，著重考查函數(shù)的周期性，得到相鄰三項(xiàng)之和為2是關(guān)鍵，屬于中檔題．