Question

已知a，b∈R₊，a＋b＝1，求證：(a＋)(b＋)≥．

Answer 1

答案：
解析：

證明：設(shè)y＝ab＋，則(a＋)(b＋)＝ab＋＋＋≥y＋2(當(dāng)a＝2時(shí)，取等號(hào))，因此，只要證y≥即可． 　　設(shè)ab＝x，x∈(0，]，則y＝x＋，且y＝x＋在(0，]上為減函數(shù)． 　　∴當(dāng)x＝時(shí)，ymin＝，此時(shí)a＝b＝， 　　∴ab＋≥， 　　∴(a＋)(b＋)≥． 　　思路分析：本題涉及“1”的代換問(wèn)題，把不等式左側(cè)中的“1”換成a＋b，去括號(hào)后可以出現(xiàn)利用基本不等式的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)ab＋＋＋，但其中＋能用基本不等式，而ab＋不能用，“＝”號(hào)取不到，因而應(yīng)考慮用構(gòu)造函數(shù)法構(gòu)造y＝x＋(x＝ab)，求最小值，這要求求ab＋的最小值用單調(diào)性法，而求＋的最小值用基本不等式法，但二者應(yīng)對(duì)應(yīng)統(tǒng)一的a，b的值．