Question

如圖，M是正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱DD₁的中點(diǎn)，給出下列命題：
①過M點(diǎn)有且只有一條直線與直線AB、B₁C₁都相交；
②過M點(diǎn)有且只有一條直線與直線AB、B₁C₁都垂直；
③過M點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與直線AB、B₁C₁都相交；
④過M點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與直線AB、B₁C₁都平行．
其中真命題是

①②④

．（把你認(rèn)為正確命題的序號都填上）

Answer 1

分析：①需要構(gòu)造一個(gè)過點(diǎn)M且與直線AB、B₁C₁都相交的平面，就可判斷；
②利用過空間一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面平行判斷；
③可舉反例，即找到兩個(gè)或兩個(gè)以上過點(diǎn)m且與直線AB、B₁C₁都相交的平面，即可判斷．
④利用線面平行的性質(zhì)來判斷即可．

解答：解：過M點(diǎn)與直線AB有且只有一個(gè)平面，該平面與直線B₁C₁相交，設(shè)交點(diǎn)為P，
連接MP，則MP 與直線AB相交，∴過M點(diǎn)有且只有一條直線與直線AB、B₁C₁都相交；①正確
∵直線BC∥直線B₁C₁，直線BC與直線AB確定平面ABCD，過點(diǎn)M有且只有直線D₁D⊥平面ABCD
即過點(diǎn)M有且只有直線D₁D⊥AB，⊥BC，∴過點(diǎn)M有且只有直線D₁D⊥AB，⊥B1C₁
∴過M點(diǎn)有且只有一條直線與直線AB、B₁C₁都垂直；②正確
過M點(diǎn)與直線AB有且只有一個(gè)平面，該平面與直線B₁C₁相交，
過M點(diǎn)與直線B₁C₁有且只有一個(gè)平面，該平面與直線AB相交，
∴過點(diǎn)M不止一個(gè)平面與直線AB、B₁C₁都相交，③錯(cuò)誤
過M分別作AB，B₁C₁的平行線，都有且只有一條，這兩條平行線成為相交直線，確定一個(gè)平面，
該平面與AB，B₁C₁平行，且只有該平面與兩直線平行，∴④正確
故答案為①②④．

點(diǎn)評：本題主要考查了異面直線的概念與性質(zhì)，為多選題，必須逐個(gè)判斷．