Question

(滿分12分)設函數(shù)。

（Ⅰ）若在定義域內(nèi)存在，而使得不等式能成立，求實數(shù)的最小值；

（Ⅱ）若函數(shù)在區(qū)間上恰有兩個不同的零點，求實數(shù)的取值范圍。

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ)實數(shù)的最小值為。(Ⅱ)。

【解析】

試題分析：(Ⅰ)要使得不等式能成立，只需。  

求導得：，        ………3分

∵函數(shù)的定義域為，

當時，，∴函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)；

當時，，∴函數(shù)在區(qū)間(0，+∞)上是增函數(shù)。

∴，    ∴。故實數(shù)的最小值為。     ………6分

(Ⅱ)由得：

由題設可得：方程在區(qū)間上恰有兩個相異實根………8分

設�！�，列表如下：

		－	0	＋
		減函數(shù)		增函數(shù)

 

∵，

∴。

從而有，                 ………10分

畫出函數(shù)在區(qū)間上的草圖

易知要使方程在區(qū)間上恰有兩個相異實根，

只需：，即：。      ………12分

考點：本題主要考查導數(shù)的應用，研究函數(shù)單調(diào)性、確定函數(shù)最值、研究函數(shù)圖象。

點評：利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、確定函數(shù)最值、研究函數(shù)圖象，是導數(shù)的基本應用。本題將“恒成立”問題轉(zhuǎn)化成求函數(shù)最值問題，將函數(shù)零點問題，轉(zhuǎn)化成研究函數(shù)單調(diào)性、求最值問題，凸顯轉(zhuǎn)化與化歸數(shù)學的重要性。