Question

已知函數(shù)f（x）=x³-bx²+3x-5為R上單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)b的取值范圍（ ）
A．（-∞，-3）∪（3，+∞）
B．（-3，3）
C．（-∞，-3]∪[3，+∞）
D．[-3，3]

Answer 1

【答案】分析：由f（x）的解析式求出導(dǎo)函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)為開口向上的拋物線，因為函數(shù)在R上為單調(diào)函數(shù)，所以導(dǎo)函數(shù)與x軸沒有交點，即△小于等于0，列出關(guān)于b的不等式，求出不等式的解集即可得到實數(shù)b的取值范圍．
解答：解：由f（x）=x³-bx²+3x-5，得到f′（x）=3x²-2bx+3，
因為函數(shù)在（-∞，+∞）上是單調(diào)函數(shù)，
所以f′（x）=3x²-2bx+3≤0在（-∞，+∞）恒成立，
則△=4b²-36≤0⇒-3≤b≤3，
所以實數(shù)a的取值范圍是：[-3，3]．
故選D．
點評：此題考查學(xué)生會利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，掌握函數(shù)恒成立時所取的條件，是一道綜合題．