Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c（a，b，c∈R），當(dāng)且僅當(dāng)x=1，x=-1 時(shí)，f（x）取得極值，并且極大值比極小值大c．
（1）求常數(shù)a，b，c的值；
（2）求f（x）的極值．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)在兩個(gè)極值點(diǎn)處的值為0，列出方程組，求出a，b的值；再結(jié)合極大值比極小值大c即可求出c的值；
（2）直接根據(jù)第一問中求出的結(jié)論代入即可．
解答：解：（1）因?yàn)閒'（x）=3x²+2ax+b；
∵當(dāng)x=-1和x=1時(shí)，f（x）取得極值，
∴f′（-1）=0，f′（1）=0，
∴⇒．
∴f′（x）=3（x²-1）=3（x+1）（x-1）．
∴當(dāng)x＞1或x＜-1時(shí)，f′（x）＞0；原函數(shù)遞增；
當(dāng)-1＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0函數(shù)遞減．
∴函數(shù)極大值為：f（-1）=-1-b+c，極小值為：f（1）=1+b+c
∴（-1-b+c）-（1+b+c）=c⇒c=4．
（2）∵f（x）=x³-3x+4．
∴函數(shù)極大值為f（-1）=6；極小值為：f（1）=2．
點(diǎn)評(píng)：求函數(shù)的極值，一般求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出導(dǎo)函數(shù)大于0的x范圍及導(dǎo)函數(shù)小于0的x的范圍，列出x，f′（x），f（x0的情況變化表從而得到函數(shù)的極值；注意函數(shù)在極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為0．