19.已知F為拋物線E:x2=2py(p>0)的焦點,直線l:y=kx+$\frac{p}{2}$交拋物線E于A,B兩點.
(Ⅰ)當(dāng)k=1,|AB|=8時,求拋物線E的方程;
(Ⅱ)過點A,B作拋物線E的切線l1,l2,且l1,l2交點為P,若直線PF與直線l斜率之和為-$\frac{3}{2}$,求直線l的斜率.

分析 (Ⅰ)根據(jù)弦長公式即可求出p的值,問題得以解決,
(Ⅱ)聯(lián)立方程組,根據(jù)韋達(dá)定理,即可求出過點A,B作拋物線E的切線l1,l2方程,再求出交點坐標(biāo),根據(jù)斜率的關(guān)系即可求出k的值.

解答 解:(Ⅰ)聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y=x+\frac{p}{2}\\{x^2}=2py\end{array}\right.$,消去x得${y^2}-3py+\frac{p^2}{4}=0$,
題設(shè)得$|AB|={y_A}+\frac{p}{2}+{y_B}+\frac{p}{2}={y_A}+{y_B}+p=4p=8$,
∴p=2,
∴拋物線E的方程為x2=4y.
(II)設(shè)$A({x_1},\frac{1}{2p}x_1^2),B({x_2},\frac{1}{2p}x_2^2)$
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y=kx+\frac{p}{2}\\{x^2}=2py\end{array}\right.$,消去y得x2-2pkx-p2=0,
∴${x_1}+{x_2}=2pk,{x_1}•{x_2}=-{p^2}$,
由$y=\frac{1}{2p}{x^2}$得${y^'}=\frac{1}{p}x$,
∴直線l1,l2的方程分別為$y=\frac{x_1}{p}x-\frac{1}{2p}x_1^2,y=\frac{x_2}{p}x-\frac{1}{2p}x_2^2$,
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{x_1}{p}x-\frac{1}{2p}x_1^2\\ y=\frac{x_2}{p}x-\frac{1}{2p}x_2^2\end{array}\right.$得點P的坐標(biāo)為$(pk,-\frac{p}{2})$,
∴${k_{PF}}=-\frac{1}{k}$,
∴$-\frac{1}{k}+k=-\frac{3}{2}∴k=-2$或$\frac{1}{2}$,
∴直線l的斜率為k=-2或 $k=\frac{1}{2}$.

點評 本題考查拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程,以及簡單性質(zhì)的應(yīng)用,考查直線與拋物線的位置關(guān)系,屬中檔題.

練習(xí)冊系列答案
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A.[-$\frac{1}{3}$,1)B.[-1,$\frac{1}{2}$]C.(-1,$\frac{1}{2}$]D.[-$\frac{1}{3}$,$\frac{1}{2}$]

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