分析 (Ⅰ)根據(jù)弦長公式即可求出p的值,問題得以解決,
(Ⅱ)聯(lián)立方程組,根據(jù)韋達(dá)定理,即可求出過點A,B作拋物線E的切線l1,l2方程,再求出交點坐標(biāo),根據(jù)斜率的關(guān)系即可求出k的值.
解答 解:(Ⅰ)聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y=x+\frac{p}{2}\\{x^2}=2py\end{array}\right.$,消去x得${y^2}-3py+\frac{p^2}{4}=0$,
題設(shè)得$|AB|={y_A}+\frac{p}{2}+{y_B}+\frac{p}{2}={y_A}+{y_B}+p=4p=8$,
∴p=2,
∴拋物線E的方程為x2=4y.
(II)設(shè)$A({x_1},\frac{1}{2p}x_1^2),B({x_2},\frac{1}{2p}x_2^2)$
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y=kx+\frac{p}{2}\\{x^2}=2py\end{array}\right.$,消去y得x2-2pkx-p2=0,
∴${x_1}+{x_2}=2pk,{x_1}•{x_2}=-{p^2}$,
由$y=\frac{1}{2p}{x^2}$得${y^'}=\frac{1}{p}x$,
∴直線l1,l2的方程分別為$y=\frac{x_1}{p}x-\frac{1}{2p}x_1^2,y=\frac{x_2}{p}x-\frac{1}{2p}x_2^2$,
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{x_1}{p}x-\frac{1}{2p}x_1^2\\ y=\frac{x_2}{p}x-\frac{1}{2p}x_2^2\end{array}\right.$得點P的坐標(biāo)為$(pk,-\frac{p}{2})$,
∴${k_{PF}}=-\frac{1}{k}$,
∴$-\frac{1}{k}+k=-\frac{3}{2}∴k=-2$或$\frac{1}{2}$,
∴直線l的斜率為k=-2或 $k=\frac{1}{2}$.
點評 本題考查拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程,以及簡單性質(zhì)的應(yīng)用,考查直線與拋物線的位置關(guān)系,屬中檔題.
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A. | [-$\frac{1}{3}$,1) | B. | [-1,$\frac{1}{2}$] | C. | (-1,$\frac{1}{2}$] | D. | [-$\frac{1}{3}$,$\frac{1}{2}$] |
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A. | $\frac{7}{2}$ | B. | 4 | C. | $\frac{9}{2}$ | D. | 5 |
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A. | 9 | B. | 4 | C. | 3 | D. | 2 |
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A. | $\frac{π}{6}$ | B. | $\frac{π}{4}$ | C. | $\frac{π}{3}$ | D. | $\frac{π}{2}$ |
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