Question

從橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上一點(diǎn)M向x軸作垂線，恰好通過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)F₁，且它的長(zhǎng)軸端點(diǎn)A及短軸端點(diǎn)B的連線AB平行于OM．
（Ⅰ）求橢圓的離心率；
（Ⅱ）若b=2，設(shè)Q是橢圓上任意一點(diǎn)，F(xiàn)₂是右焦點(diǎn)，求△F₁QF₂的面積的最大值；
（Ⅲ）當(dāng)QF₂⊥AB時(shí)，延長(zhǎng)QF₂與橢圓交于另一點(diǎn)P，若△F₁PQ的面積為20

3

（Q是橢圓上的點(diǎn)），求此橢圓的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)長(zhǎng)軸端點(diǎn)A及短軸端點(diǎn)B的連線AB平行于OM，可得k_OM=k_AB，從而可得b=c，進(jìn)而可求橢圓的離心率；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知b=c，所以c=2，表示出△F₁QF₂的面積，即可求出F₁QF₂的面積的最大值；
（Ⅲ）設(shè)橢圓方程為

x2

2b2

+

y2

b2

=1，與直線y=

2

(x-b)聯(lián)立，表示出面積，利用△F₁PQ的面積為20

3

，即可求此橢圓的方程．

解答：解：（Ⅰ）由題意，kOM=

b2 a

-c

，kAB=

-b

a

，
因?yàn)殚L(zhǎng)軸端點(diǎn)A及短軸端點(diǎn)B的連線AB平行于OM
所以k_OM=k_AB，所以

b2 a

-c

=

-b

a

，所以b=c
所以a²=2c²，
∴e2=

1

2

，
∴e=

2

2

（Ⅱ）由（Ⅰ）知b=c，∵b=2，∴c=2
∴S=

1

2

|F1F2|•|yQ|=c|yQ|=2|yQ|≤2×2=4
∴△F₁QF₂的面積的最大值為4；
（Ⅲ）設(shè)橢圓方程為

x2

2b2

+

y2

b2

=1，與直線y=

2

(x-b)聯(lián)立可得5x²-8bx+2b²=0．△=24b²＞0
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則x1+x2=

8b

5

，x1x2=

2b2

5

|PQ|=

3

|x1-x2|=

3

×

( 8b 5 )2- 8b2 5

=

6

5

2

b，F(xiàn)₁到直線PQ的距離為

2

3

6

b
∴S=

1

2

|PQ|d=

4

5

3

b2=20

3

∴b²=25，
∴a²=50，
∴橢圓方程為

x2

50

+

y2

25

=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與離心率，考查三角形面積的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是正確表達(dá)三角形的面積．