Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁=a（a∈R），a_n+1=3S_n（n∈N^*），則數(shù)列{a_n}（　　）

• A、可以是等差數(shù)列
• B、既可以是等差數(shù)列又可以是等比數(shù)列
• C、可以是等比數(shù)列
• D、既不能是等差數(shù)列又不能是等比數(shù)列

Answer 1

分析：這是一道典型的含有a_n+1，S_n的遞推公式來求通項(xiàng)公式的題目，利用公式 an=

s1                n=1 sn-sn-1                 n≥ 2

本題是先求出S_n，再由S_n求出a_n，要注意對(duì)n=1和n≥2進(jìn)行討論．

解答：解：由已知，a₁=a，a_n+1=3S_n=S_n+1-S_n，
得4S_n=S_n+1，
當(dāng)a=0時(shí)，各項(xiàng)都為0，是等差數(shù)列；
當(dāng)a≠0時(shí)，有

Sn+1

Sn

=4，即{S_n}是首項(xiàng)為a，公比為4的等比數(shù)列，
所以S_n=a•4^n-1，
又由 公式 an=

s1                n=1 sn-sn-1                 n≥ 2

得到a_n=

a                    n=1 3a•4n-2          n≥2

．
當(dāng)a≠0，因?yàn)閍₁=a，a₂=3a，a₃=12a，，
所以：

a2

a1

≠

a3

a2

，不是等比數(shù)列．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題屬于基礎(chǔ)題目，運(yùn)算上較為容易，另外需注意求出S_n之后，只要注意討論n=1和n≥2的情形，進(jìn)一步求出{a_n}的通項(xiàng)公式，用到的思想方法是分段討論法