Question

選修4-5，不等式選講，已知f（x）=x²-x+c，設x₁，x₂∈（0，1），且x₁≠x₂．求證：|f(x1)-f(x2)|＜

1

4

．

Answer 1

分析：把二次函數(shù)f（x）配方，得到x∈（0，1）時，f（x）的范圍，進而得到 f（x₁）和f（x₂）的范圍，
得到f（x₁）-f（x₂）的范圍，從而有|f(x1)-f(x2)|＜

1

4

 成立．

解答：證明：因為 f（x）=x²-x+c=(x-

1

2

)2+c-

1

4

，
所以，當x∈（0，1）時，-

1

4

+c≤f(x)＜c，
所以，當x₁，x₂∈（0，1）時，-

1

4

+c≤f(x1)＜c，且 -

1

4

+c≤f(x2)＜c，
所以，-

1

4

＜f(x1)-f(x2)＜

1

4

，從而有|f(x1)-f(x2)|＜

1

4

．

點評：本題考查二次函數(shù)的性質，不等式的性質的應用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想．證明
-

1

4

+c≤f(x1)＜c，且 -

1

4

+c≤f(x2)＜c成立，是證明的關鍵．