Question

設復數(shù)z=

7+i

3+4i

-isinθ其中i為虛數(shù)單位，θ∈[-

π

6

，

5π

6

]，則|z|的取值范圍是（　　）

• A．[1，

  3

  ]
• B．[1，

  5

  ]
• C．[

  13

  2

  ，

  5

  ]
• D．[

  5

  2

  ，

  5

  ]

Answer 1

分析：先將z化成代數(shù)形式，利用模的計算公式得出|z|²=1+（sinθ+1）²，看作關于sinθ的二次函數(shù)求解．

解答：解：z=

7+i

3+4i

-isinθ=

(7+i)(3-4i)

(3+4i)(3-4i)

-isinθ
=（1-i）-isinθ=1-（sinθ+1）i，
根據(jù)復數(shù)模的計算公式得出|z|²=1+（sinθ+1）²，
∵θ∈[-

π

6

，

5π

6

]，∴sinθ∈[-

1

2

，1]，當sinθ=-

1

2

時，|z|²取得最小值

5

4

，
當sinθ=1，時，|z|²取得最大值5，∴|z|²∈[

5

4

，5]
∴|z|的取值范圍是[

5

2

，

5

]
故選D

點評：本題考查了復數(shù)代數(shù)形式的基本運算，復數(shù)模的計算，二次函數(shù)、三角函數(shù)的性質(zhì)．