【題目】已知函數(shù)(其中為常數(shù)).
(1)判斷函數(shù)的奇偶性;
(2)若不等式在時有解,求實數(shù)的取值范圍;
(3)設(shè),是否存在正數(shù),使得對于區(qū)間上的任意三個實數(shù),,,都存在以,,為邊長的三角形?若存在,試求出這樣的的取值范圍;若不存在,請說明理由.
【答案】(1),偶函數(shù); ,非奇非偶函數(shù);(2);(3).
【解析】
(1)先由題意得到函數(shù)的定義域,再由函數(shù)奇偶性的定義,分別討論與,即可判斷出結(jié)果;
(2)先由題意,將問題轉(zhuǎn)化為在上能成立;求出的最大值,即可得出結(jié)果;
(3)先假設(shè)存在正數(shù)滿足題意;設(shè),求出,將對于區(qū)間上的任意三個實數(shù),,,都存在以,,為邊長的三角形,轉(zhuǎn)化為,任取,作差得到,分別討論,,,四種情況,得出函數(shù)單調(diào)性,求出最值,列出不等式求解,即可得出結(jié)果.
(1)由題意可得:的定義域為,
又,
當(dāng),即時,,所以是偶函數(shù);
當(dāng),即時,是非奇非偶函數(shù);
(2)由不等式可得:,即,
所以不等式在時有解,
等價于在上能成立;
又在上單調(diào)遞增,所以
因此,只需,解得;
即實數(shù)的取值范圍是;
(3)假設(shè)存在正數(shù)滿足題意;
設(shè),則在上單調(diào)遞減,
所以,則;
所以對于區(qū)間上的任意三個實數(shù),,,都存在以,,為邊長的三角形,等價于,
任取,所以,
則,
①當(dāng)時,,所以,
即在上單調(diào)遞增,
所以,,
由得,解得:,所以;
②當(dāng)時,易得:在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以,
,
由得:,解得:;
所以;
③當(dāng)時,易得:在在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以,
,
由得:,解得:,
所以;
④當(dāng)時,,所以,
即在上單調(diào)遞減,
所以,,
由得,解得,所以;
綜上,,又為正數(shù),所以.
即存在滿足題意.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)= sin2ωxcosφ+cos2ωxsinφ+ cos( +φ)(0<φ<π),其圖象上相鄰兩條對稱軸之間的距離為π,且過點( ). (I)求ω和φ的值;
(II)求函數(shù)y=f(2x),x∈[0, ]的值域.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某投資公司現(xiàn)提供兩種一年期投資理財方案,一年后投資盈虧的情況如表:
投資股市 | 獲利40% | 不賠不賺 | 虧損20% | 購買基金 | 獲利20% | 不賠不賺 | 虧損10% |
概率P |
|
|
| 概率P | p |
| q |
(I)甲、乙兩人在投資顧問的建議下分別選擇“投資股市”和“購買基金”,若一年后他們中至少有一人盈利的概率大于 ,求p的取值范圍;
(II)某人現(xiàn)有10萬元資金,決定在“投資股市”和“購買基金”這兩種方案中選出一種,若購買基金現(xiàn)階段分析出 ,那么選擇何種方案可使得一年后的投資收益的數(shù)學(xué)期望值較大?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)= ,g(x)=af(x)﹣|x﹣1|.
(Ⅰ)當(dāng)a=0時,若g(x)≤|x﹣2|+b對任意x∈(0,+∞)恒成立,求實數(shù)b的取值范圍;
(Ⅱ)當(dāng)a=1時,求g(x)的最大值.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=2x+1,數(shù)列{an}滿足an=f(n)(n∈N*),數(shù)列{bn}的前n項和為Tn , 且b1=2,Tn=bn+1﹣2(n∈N).
(1)分別求{an},{bn}的通項公式;
(2)定義x=[x]+(x),[x]為實數(shù)x的整數(shù)部分,(x)為小數(shù)部分,且0≤(x)<1.記cn= ,求數(shù)列{cn}的前n項和Sn .
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【題目】如果對一切實數(shù)x、y,不等式 ﹣cos2x≥asinx﹣ 恒成立,則實數(shù)a的取值范圍是( )
A.(﹣∞, ]
B.[3,+∞)
C.[﹣2 ,2 ]
D.[﹣3,3]
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【題目】已知函數(shù)f(x)=|x+1|+|x﹣2|,不等式f(x)≥t對x∈R恒成立.
(1)求t的取值范圍;
(2)記t的最大值為T,若正實數(shù)a,b滿足a2+b2=T,求證: ≤ .
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系xoy中,過橢圓 右焦點的直線 交橢圓C于M,N兩點,P為M,N的中點,且直線OP的斜率為 .
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設(shè)另一直線l與橢圓C交于A,B兩點,原點O到直線l的距離為 ,求△AOB面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】平面直角坐標(biāo)系中,已知O為坐標(biāo)原點,點A、B的坐標(biāo)分別為(1,1)、(﹣3,3).若動點P滿足 ,其中λ、μ∈R,且λ+μ=1,則點P的軌跡方程為( )
A.x﹣y=0
B.x+y=0
C.x+2y﹣3=0
D.(x+1)2+(y﹣2)2=5
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