Question

設(shè)集合A={x|x²-3x+2=0}，B={x|x²+2（a+1）x+（a²-5）=0}．
（1）若A∩B={2}，求實數(shù)a的值；
（2）若A∪B=A，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）先解出集合A，根據(jù)2是兩個集合的公共元素可知2∈B，建立關(guān)于a的等式關(guān)系，求出a后進(jìn)行驗證即可．
（2）一般A∪B=A轉(zhuǎn)化成B⊆A來解決，集合A兩個元素故可考慮對集合B的元素個數(shù)進(jìn)行討論求解．
解答：解：由x²-3x+2=0得x=1或x=2，故集合A={1，2}
（1）∵A∩B={2}，∴2∈B，代入B中的方程，
得a²+4a+3=0⇒a=-1或a=-3；
當(dāng)a=-1時，B={x|x²-4=0}={-2，2}，滿足條件；
當(dāng)a=-3時，B={x|x²-4x+4=0}={2}，滿足條件；
綜上，a的值為-1或-3；
（2）對于集合B，
△=4（a+1）²-4（a²-5）=8（a+3）．
∵A∪B=A，∴B⊆A，
①當(dāng)△＜0，即a＜-3時，B=∅滿足條件；
②當(dāng)△=0，即a=-3時，B={2}，滿足條件；
③當(dāng)△＞0，即a＞-3時，B=A={1，2}才能滿足條件，
則由根與系數(shù)的關(guān)系得
⇒矛盾；
綜上，a的取值范圍是a≤-3．
點評：本題主要考查了交集并集以及一元二次方程的解法，屬于基礎(chǔ)題，考查分類討論的思想．