某投資公司年初用萬(wàn)元購(gòu)置了一套生產(chǎn)設(shè)備并即刻生產(chǎn)產(chǎn)品,已知與生產(chǎn)產(chǎn)品相關(guān)的各種配套費(fèi)用第一年需要支出萬(wàn)元,第二年需要支出萬(wàn)元,第三年需要支出萬(wàn)元,……,每年都比上一年增加支出萬(wàn)元,而每年的生產(chǎn)收入都為萬(wàn)元.假設(shè)這套生產(chǎn)設(shè)備投入使用年,,生產(chǎn)成本等于生產(chǎn)設(shè)備購(gòu)置費(fèi)與這年生產(chǎn)產(chǎn)品相關(guān)的各種配套費(fèi)用的和,生產(chǎn)總利潤(rùn)等于這年的生產(chǎn)收入與生產(chǎn)成本的差. 請(qǐng)你根據(jù)這些信息解決下列問(wèn)題:
(Ⅰ)若,求的值;
(Ⅱ)若干年后,該投資公司對(duì)這套生產(chǎn)設(shè)備有兩個(gè)處理方案:
方案一:當(dāng)年平均生產(chǎn)利潤(rùn)取得最大值時(shí),以萬(wàn)元的價(jià)格出售該套設(shè)備;
方案二:當(dāng)生產(chǎn)總利潤(rùn)取得最大值時(shí),以萬(wàn)元的價(jià)格出售該套設(shè)備. 你認(rèn)為哪個(gè)方案更合算?請(qǐng)說(shuō)明理由.
(Ⅰ)7; (Ⅱ)從投資收益的角度看,方案一比方案二更合算.
【解析】
試題分析:1.由于文字?jǐn)⑹鲚^長(zhǎng),很多考生對(duì)題意不甚了了,所建立的函數(shù)模型也是錯(cuò)誤百出,從而導(dǎo)致本題的得分是很低的.2.第(Ⅰ)問(wèn)中,很多考生在求的時(shí)候,都把等差數(shù)列的前項(xiàng)和錯(cuò)誤理解為第項(xiàng)了,即.3.第(Ⅱ)問(wèn)中,一些考生不理解“年平均生產(chǎn)利潤(rùn)取得最大值”、“生產(chǎn)總利潤(rùn)取得最大值”的含義,從而無(wú)法建立模型.4. 第(Ⅱ)問(wèn)中,所建立的模型是對(duì)的,并且也求出了分別等于7和11,但之后就不知道應(yīng)該選擇哪一個(gè)量作為標(biāo)準(zhǔn),來(lái)判斷哪個(gè)方案更好.
試題解析:(Ⅰ)由題意知該公司這年需要支出與生產(chǎn)產(chǎn)品相關(guān)的各種配套費(fèi)用是以為首項(xiàng),為公差的等差數(shù)列的前項(xiàng)和.
∴.
由得,解得.
∵,∴,,,……,.
∴的解集為.
(Ⅱ)(1) 由已知得年平均生產(chǎn)利潤(rùn)為.
∵,
“”成立,即,
∴當(dāng)時(shí),年平均生產(chǎn)利潤(rùn)取得最大值,若執(zhí)行方案一,總收益為(萬(wàn)元).
(2) ∵,,
∴當(dāng)時(shí),生產(chǎn)總利潤(rùn)取得最大值,若執(zhí)行方案二,總收益為
(萬(wàn)元).
∴無(wú)論執(zhí)行方案一還是方案二,總收益都為萬(wàn)元.
∵,∴從投資收益的角度看,方案一比方案二更合算.
注:第(Ⅱ)問(wèn)答案不唯一,只要言之有理即可.
考點(diǎn):閱讀和建模能力,運(yùn)用函數(shù)、數(shù)列、均值不等式等知識(shí)和方法解決實(shí)際問(wèn)題能力.
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