已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的長軸長是短軸長的兩倍，焦距為
3
2
．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)不過原點(diǎn)O的直線l與橢圓C交于兩點(diǎn)M、N，且直線OM、MN、ON的斜率依次成等比數(shù)列，求△OMN面積的取值范圍．
解析：（1）由已知得
2a=2×2b
c
a
=
3
2
c2=a2-b2
解得
a=2
b=1
，
所以橢圓C的方程：
x2
4
+y2=1；
（2）由題意可設(shè)直線l的方程為：y=kx+m（k≠0，m≠0），
聯(lián)立
y=kx+m
x2
4
+y2=1
 消去y并整理，得：（1+4k2）x2+8kmx+4（m2-1）=0，
則△=64k2m2-16（1+4k2）（m2-1）=16（4k2-m2+1）＞0，
此時設(shè)M（x1，y1）、N（x2，y2），則x1+x2=-
8km
1+4k2
，x1x2=
4(m2-1)
1+4k2
，
于是y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km(x1+x2)+m2，
又直線OM、MN、ON的斜率依次成等比數(shù)列，
∴
y1
x1
•
y2
x2
=
k2x1x2+km(x1+x2)+m2
x1x2
=k2?-
8k2m2
1+4k2
+m2=0，
由m≠0得：k2=
1
4
?k=±
1
2
．
又由△＞0 得：0＜m2＜2，顯然m2≠1（否則：x1x2=0，則x1，x2中至少有一個為0，直線OM、ON中至少有一個斜率不存在，矛盾�。�
設(shè)原點(diǎn)O到直線l的距離為d，則
S△OMN=
1
2
|MN|d=
1
2
×
|m|
1+k2
1+k2
|x1-x2|=
1
2
|m|
(x1+x2)2-4x1x2
=
-(m2-1)2+1
，
故由m得取值范圍可得△OMN面積的取值范圍為（0，1）．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
1
2
，且經(jīng)過點(diǎn)P(1，
3
2
)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)F是橢圓C的左焦，判斷以PF為直徑的圓與以橢圓長軸為直徑的圓的位置關(guān)系，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短軸長為2
3
，右焦點(diǎn)F與拋物線y2=4x的焦點(diǎn)重合，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)A、B是橢圓C上的不同兩點(diǎn)，點(diǎn)D（-4，0），且滿足
DA
=λ
DB
，若λ∈[
3
8
，
1
2
]，求直線AB的斜率的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）經(jīng)過點(diǎn)A（1，
3
2
），且離心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)B（-1，0）能否作出直線l，使l與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)，且以MN為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O．若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•房山區(qū)二模）已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的長軸長是4，離心率為
1
2
．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)P（0，-2）的直線l交橢圓于M，N兩點(diǎn)，且M，N不與橢圓的頂點(diǎn)重合，若以MN為直徑的圓過橢圓C的右頂點(diǎn)A，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短軸長為2，離心率為
2
2
，設(shè)過右焦點(diǎn)的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B，過A，B作直線x=2的垂線AP，BQ，垂足分別為P，Q．記λ=
AP+BQ
PQ
，若直線l的斜率k≥
3
，則λ的取值范圍為
 
．

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