Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，且a_n=2a_n-1+2ⁿ．（n≥2且n∈N*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)之和S_n，求S_n．

Answer 1

分析：（1）由已知可知，

an

2n

=

an-1

2n-1

+1，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求

an

2n

，進(jìn)而可求a_n
（2）由題意可得，Sn=

1

2

•21+

3

2

•22+

5

2

•23+…+(n-

1

2

)•2n，利用錯(cuò)位相減法可求和

解答：解：（1）∵an=2an-1+2n(n≥2，且n∈N*），
∴

an

2n

=

an-1

2n-1

+1，
即

an

2n

-

an-1

2n-1

=1（n≥2，且n∈N*），
所以，數(shù)列{

an

2n

}是等差數(shù)列，公差d=1，首項(xiàng)

1

2

，
于是

an

2n

=

1

2

+(n-1)d=

1

2

+(n-1)•1=n-

1

2

，
∴an=(n-

1

2

)•2n．
（2）∵Sn=

1

2

•21+

3

2

•22+

5

2

•23+…+(n-

1

2

)•2n①
∴2Sn=

1

2

•22+

3

2

•23+

5

2

•24+…+(n-

1

2

)•2n+1②
-Sn=1+22+23+…+2n-(n-

1

2

)•2n+1
=2+22+23+…+2n-(n-

1

2

)•2n+1-1
=2n+1-2-(n-

1

2

)•2n+1-1
=（3-2n）•2ⁿ-3
∴Sn=(2n-3)•2n+3

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式構(gòu)造等差數(shù)列求解數(shù)列的通項(xiàng)公式，數(shù)列的錯(cuò)位相減求解數(shù)列的和方法的應(yīng)用，屬于數(shù)列知識(shí)的綜合應(yīng)用．