分析 (1)以D為坐標(biāo)原點(diǎn),射線DA為x軸的正半軸,建立直角坐標(biāo)系D-xyz,利用向量法能證明A1C⊥平面BED.
(2)求出平面DA1E的法向量和平面BED的法向量,利用向量法能求出二面角A1-DE-B的余弦值.
解答 證明:(1)以D為坐標(biāo)原點(diǎn),射線DA為x軸的正半軸,
建立如圖所示直角坐標(biāo)系D-xyz.
依題設(shè),B(2,2,0),C(0,2,0),E(0,2,1),A1(2,0,4).
→DE=(0,2,1),→DB=(2,2,0),→A1C=(-2,2,-4),→DA1=(2,0,4).
∵→A1C•→DB=0,→A1C•→DE=0,
故A1C⊥BD,A1C⊥DE,又DB∩DE=D,
所以A1C⊥平面BED.…(4分)
解:(2)設(shè)向量→n=(x,y,z)是平面DA1E的法向量,
則{→n•→DE=2y+z=0→n•→DA1=2x+4z=0.
令y=1,則→n=(4,1,-2).…(6分)
cos<→n,→A1C>=→n•→A1C|→n|•|→A1C|=√1442.
所以二面角A1-DE-B的余弦值為大小為√1442.…(8分)
點(diǎn)評 本題考查線面垂直的證明,考查二面角的余弦值的求法,是中檔題,解題時要認(rèn)真審題,注意空間思維能力的培養(yǎng).
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A. | 4 | B. | -4 | C. | 2 | D. | -2 |
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A. | [-1,+∞) | B. | (-∞,1) | C. | (-∞,-1] | D. | (1,+∞) |
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