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14.如圖,在長方體ABCD-A1B1C1B1中,AA1=2AB=2AD=4,點(diǎn)E在CC1上且C1E=3EC.利用空間向量解決下列問題:
(1)證明:A1C⊥平面BED;
(2)求銳二面角A1-DE-B 的余弦值.

分析 (1)以D為坐標(biāo)原點(diǎn),射線DA為x軸的正半軸,建立直角坐標(biāo)系D-xyz,利用向量法能證明A1C⊥平面BED.
(2)求出平面DA1E的法向量和平面BED的法向量,利用向量法能求出二面角A1-DE-B的余弦值.

解答 證明:(1)以D為坐標(biāo)原點(diǎn),射線DA為x軸的正半軸,
建立如圖所示直角坐標(biāo)系D-xyz.
依題設(shè),B(2,2,0),C(0,2,0),E(0,2,1),A1(2,0,4).
DE=(0,2,1),DB=(2,2,0),A1C=(-2,2,-4),DA1=(2,0,4).
A1CDB=0,A1CDE=0,
故A1C⊥BD,A1C⊥DE,又DB∩DE=D,
所以A1C⊥平面BED.…(4分)
解:(2)設(shè)向量n=(x,y,z)是平面DA1E的法向量,
{nDE=2y+z=0nDA1=2x+4z=0
令y=1,則n=(4,1,-2).…(6分)
cos<nA1C>=nA1C|n||A1C|=1442
所以二面角A1-DE-B的余弦值為大小為1442.…(8分)

點(diǎn)評 本題考查線面垂直的證明,考查二面角的余弦值的求法,是中檔題,解題時要認(rèn)真審題,注意空間思維能力的培養(yǎng).

練習(xí)冊系列答案
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同步練習(xí)冊答案
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