Question

7．已知函數(shù)f（x）=ax²+lnx，f₁（x）=$\frac{1}{2}$x²+2ax，a∈R，若f（x）＜f₁（x）在區(qū)間（1，+∞）上恒成立，則a的取值范圍為（-$∞，\frac{1}{2}$]．

Answer 1

分析 將所給的不等式化成f（x）-f₁（x）＜0的形式，然后構造函數(shù)，利用導數(shù)研究單調性再求其最值即可．

解答 解：由題意得ax²+lnx-$\frac{1}{2}$x²-2ax＜0當x＞1時恒成立，
令g（x）=ax²+lnx-$\frac{1}{2}$x²-2ax，x＞1．
則g$′（x）=2ax-2a-x+\frac{1}{x}$=$\frac{（x-1）[（2a-1）x-1]}{x}$．
①當a=$\frac{1}{2}$時，g$′（x）=-\frac{x-1}{x}＜0$，此時g（x）在（1，+∞）內遞減，且當x→1時，g（x）→-1＜0．
故此時g（x）＜0恒成立，即原不等式恒成立；
令g′（x）=0得x=1或x=$\frac{1}{2a-1}$．
②當$\frac{1}{2a-1}＜0$，即$a＜\frac{1}{2}$時，g′（x）＜0在（1，+∞）上恒成立，由①知，此時原不等式恒成立；
③當0$＜\frac{1}{2a-1}≤1$，即a≥1時，g′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，所以g（x）在（0，+∞）上遞增，易知只要x足夠大，一定會有g（x）＞0成立，
故此時原不等式不能恒成立；
④當$\frac{1}{2a-1}＞1$，即$\frac{1}{2}＜a＜1$時，當$x∈（1，\frac{1}{2a-1}）$時，g′（x）＜0．當x∈（$\frac{1}{2a-1}，+∞$）時，g′（x）＞0．
所以當x$∈（\frac{1}{2a-1}，+∞）$時，g（x）遞增，只要x取得足夠大，必有g（x）＞0成立，故此時原不等式不恒成立．
綜上可知，當$a≤\frac{1}{2}$時，原不等式恒成立．
故答案為（$-∞，\frac{1}{2}$]．

點評 本題考查了關于不等式恒成立問題的基本解題思路，一般轉化為函數(shù)的最值問題來求，此例若才用分離參數(shù)法可能不好處理．