Question

設(shè)是兩個(gè)互相垂直的單位向量，已知向量且向量，
（1）求f（k）的表達(dá)式．
（2）求f（k）的值域及夾角θ=60°時(shí)的k值．
（3）在（1）的條件下解關(guān)于k的不等式：．

Answer 1

【答案】分析：（1）由，可求=2k，=，，代入f（k）=cosθ=可求
（2）由1+2k²≥2k可得f（k）∈（0，1]結(jié)合θ=60°可知cosθ=，可求k
（3）由（1）可得f[f（k）]==?，k＞0，分類討論：分a＞0時(shí)，當(dāng)a=0時(shí)，當(dāng)a＜0時(shí)，三種情況分別求解
解答：解：（1）∵∴，
∵
∴==2k
∵=，同理可得  
∴f（k）=cosθ==（k＞0）…（4分）
（2）因?yàn)?+2k²≥2k當(dāng)且僅當(dāng)k=1時(shí)等號(hào)成立
所以f（k）∈（0，1]，
當(dāng)θ=60°時(shí)，cosθ=
∴  （8分）
（3）由（1）可得f[f（k）]=f（）==
?4k³+4k＜-3ak²+（4+a²）k
?k（4k²+3ak-a²）＜0
?，
∵k＞0
當(dāng)a＞0時(shí)，解可得0＜k＜
當(dāng)a=0時(shí)，解為k＜0且k＞0，此時(shí)k不存在
當(dāng)a＜0時(shí)，解為0＜k＜-a
綜上所述：當(dāng)a＞0時(shí)，解集為{k|0＜k＜}；
當(dāng)a=0時(shí)，解集為∅
當(dāng)a＜0時(shí)，解集為{k|0＜k＜-a}（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了向量的數(shù)量積的應(yīng)用，向量夾角公式的應(yīng)用，及不等式的求解，屬于綜合試題