Question

某工廠為了提高經(jīng)濟(jì)效益，決定花5600千元引進(jìn)新技術(shù)，同時(shí)適當(dāng)進(jìn)行裁員．已知這家公司現(xiàn)有職工m人，每人每年可創(chuàng)利100千元．據(jù)測(cè)算，若裁員人數(shù)不超過現(xiàn)有人數(shù)的20%，則每裁員1人，留崗員工每人每年就能多創(chuàng)利1千元；若裁員人數(shù)超過現(xiàn)有人數(shù)的20%，則每裁員1人，留崗員工每人每年就能多創(chuàng)利2千元．為保證公司的正常運(yùn)轉(zhuǎn)，留崗的員工數(shù)不得少于現(xiàn)有員工人數(shù)的75%．為保障被裁員工的生活，公司要付給被裁員工每人每年20千元的生活費(fèi)．
（1）若m=400時(shí)，要使公司利潤至少增加10%，那么公司裁員人數(shù)應(yīng)在什么范圍內(nèi)？
（2）若m=20k，且15＜k＜50，為了獲得最大的經(jīng)濟(jì)效益，該公司應(yīng)裁員多少人？

Answer 1

解：設(shè)該公司應(yīng)裁員x人，x∈N^*，所獲得利潤為y．
（1）m=400時(shí)，若0≤x≤80
公司所獲利潤y=（400-x）（100+x）-20x-5600
要使公司利潤至少增加10%那么（400-x）（100+x）-20x-5600≥400×100×（1+10%）x²-280x+9600≤0又0≤x≤80所以40≤x≤80．
若80≤x≤100公司所獲利潤y=（400-x）（100+2x）-20x-5600
要使公司利潤至少增加10%那么（400-x）（100+2x）-20x-5600≥400×100×（1+10%）x²-340x+4800≤0它在80≤x≤100時(shí)成立
所以40≤x≤100時(shí)公司利潤至少增加10%．
（2）設(shè)公司裁員x人，所獲得利潤為y千元．則

=
=
設(shè)f₁（x）=-（x-（10k-60））²+2000k-5600+（10k-60）²，0≤x≤4k，
因?yàn)?0k-60＞150-60=90＞4k．所以當(dāng)x=4k時(shí)，函數(shù)f₁（x）取最大值為：
f₁（x）_max=64k²+80k-5600．
設(shè)f₂（x）=-2（x-（10k-30））²+2000k-5600+2（10k-30）²，4k＜x≤5k，
因?yàn)?0k-30＞150-30=120＞5k．所以當(dāng)x=5k時(shí)，函數(shù)f₂（x）取最大值為：
f₁（x）_max=150k²+50k-5600．f₂（x）-f₁（x）=86k²-30k＞0．
所以當(dāng)x=5k時(shí)公司可獲得最大利潤．
分析：（1）根據(jù)已知條件，當(dāng)m=400時(shí)，我們根據(jù)若裁員人數(shù)超過現(xiàn)有人數(shù)的20%，則每裁員1人，留崗員工每人每年就能多創(chuàng)利2千元．為保證公司的正常運(yùn)轉(zhuǎn)，留崗的員工數(shù)不得少于現(xiàn)有員工人數(shù)的75%．設(shè)該公司應(yīng)裁員x人，我們分0≤x≤80，80≤x≤100兩種情況分析討論公司所獲利潤，然后列出公司利潤至少增加10%的對(duì)應(yīng)的不等式，解不等式，即可得到公司裁員人數(shù)的取值范圍．
（2）當(dāng)m=20k，時(shí)，我們根據(jù)（1）中的分析，分0≤x≤4k，4k＜x≤5k，兩種情況分析討論公司所獲利潤，然后在構(gòu)造出公司利潤與栽員人數(shù)之間的分段函數(shù)的解析式，然后在每一段上，分析函數(shù)的最值，進(jìn)而得到合理的裁員方案．
點(diǎn)評(píng)：函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用題，我們要經(jīng)過析題→建�！�解�！�還原四個(gè)過程，在建模時(shí)要注意實(shí)際情況對(duì)自變量x取值范圍的限制，解模時(shí)也要實(shí)際問題實(shí)際考慮．將實(shí)際的最大（小）化問題，利用函數(shù)模型，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大（小）是最優(yōu)化問題中，最常見的思路之一．