Question

已知函數(shù)f(x)=

(1+sinx+cosx)(sin x 2 -cos x 2 )

2+2cosx

．
（I）當(dāng)180°＜x＜360°時(shí)，化簡函數(shù)f（x）的表達(dá)式；
（II）寫出函數(shù)f（x）的一條對(duì)稱軸．

Answer 1

分析：（I）把函數(shù)解析式的分子第一個(gè)因式中的一三項(xiàng)結(jié)合，利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡，第二項(xiàng)利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡，化簡后第一個(gè)因式提取2cos

x

2

，剩下的式子利用平方差公式及二倍角的余弦函數(shù)公式化簡；分母被開方數(shù)提取2后，利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡，再根據(jù)

a2

=|a|進(jìn)行變形，由x的范圍求出

x

2

的范圍，根據(jù)絕對(duì)值的代數(shù)意義進(jìn)行化簡，最后分子分母約分后即可最簡的函數(shù)f（x）的解析式；
（II）由第一問得到化簡后的函數(shù)解析式發(fā)現(xiàn)為一個(gè)余弦函數(shù)，其對(duì)稱軸為x=2kπ，k∈Z，故取一個(gè)整數(shù)Z可得一條對(duì)稱軸，比如Z=0，可得對(duì)稱軸為x=0，答案不唯一．

解答：（本小題滿分8分）
解：（I）f(x)=

(2cos2 x 2 +2sin x 2 cos x 2 )(sin x 2 -cos x 2 )

4cos2 x 2

=

cos x 2 (sin2 x 2 -cos2 x 2 )

|cos x 2 |

，（4分）
因?yàn)?80°＜x＜360°，90°＜

x

2

＜180°，cos

x

2

＜0，（5分）
所以f(x)=

-cos x 2 cosx

|cos x 2 |

=

-cos x 2 cosx

-cos x 2

=cosx；（6分）

（II）函數(shù)f（x）=cosx的一條對(duì)稱軸是x=0．（答案不唯一，滿足x=2kπ，k∈Z）（8分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查了三角函數(shù)的化簡求值，以及余弦函數(shù)的對(duì)稱性，涉及的知識(shí)有二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，二倍根式的化簡公式，以及余弦函數(shù)的對(duì)稱軸，學(xué)生化簡函數(shù)解析式時(shí)注意運(yùn)用x的范圍確定

x

2

的范圍，進(jìn)而化簡絕對(duì)值，熟練掌握公式是第一問化簡函數(shù)解析式的關(guān)鍵．