Question

已知函數f（x）=|a-

b

x

|，a＞0，b＞0，x≠0，且滿足：函數y=f（x）的圖象與直線y=1有且只有一個交點．
（1）求實數a的值；
（2）若關于x的不等式f（x）＜4^x-1的解集為(

1

2

，+∞)，求實數b的值；
（3）在（2）成立的條件下，是否存在m，n∈R，m＜n，使得f（x）的定義域和值域均為[m，n]，若存在，求出m，n的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：帶絕對值的函數,特稱命題

專題：綜合題,函數的性質及應用

分析：（1）依題意，a-

b

x

=-1時方程必有一根

b

a+1

，而a-

b

x

=1無解，從而可求得a；
（2）由f（x）=|a-

1

x

|與y=4^x-1的圖象知兩圖象的交點橫坐標為

1

2

，從而可求得b；
（3）f（x）=|1-

1

x

|≥0，故必須滿足n＞m＞0，f（1）=0，值域[m，n]中不包括0，定義域[m，n]中不包括1，只需討論：當0＜m＜n＜1與1＜m＜n時，由f（x）在[m，n]上的單調性即可求得答案．

解答： 解：（1）a-

b

x

=1或a-

b

x

=-1，因為a＞0，b＞0，所以a-

b

x

=-1時方程必有一根

b

a+1

，
因此a-

b

x

=1無解，a=1…4分
（2）由f（x）=|a-

b

x

|與y=4^x-1的圖象知兩圖象的交點橫坐標為

1

2

，

代入y=4^x-1，得交點為（

1

2

，1）代入f（x）=|a-

b

x

|知b=1…9分．
（3）∵f（x）=|1-

1

x

|≥0，故必須滿足n＞m＞0，
又f（1）=0，值域[m，n]中不包括0，所以定義域[m，n]中不包括1，只需討論：
當0＜m＜n＜1時，f（x）=

1

x

-1在[m，n]上遞減，作差得：

1

m

-

1

n

=n-m，mn=1不成立；
當1＜m＜n時，f（x）=1-

1

x

在[m，n]上遞增，1-

1

m

=m，1-

1

n

=n，
作差得：

1

n

-

1

m

=m-n，mn=1，不成立．
綜上，不存在m，n∈R，m＜n滿意…14分

點評：本題考查帶絕對值的函數，著重考查數形結合思想與分類討論思想的綜合運用，考查創(chuàng)新能力與抽象思維能力，屬于難題．