Question

已知定義在區(qū)間上的函數(shù)f（x）=

mx+n

x2+1

為奇函數(shù)且f（

1

2

）=

2

5

（1）求實(shí)數(shù)m，n的值；
（2）求證：函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，1]上是增函數(shù)．
（3）若?x₁，x₂∈[-1，1]，|f（x₁）-f（x₂）|≤t恒成立，求t的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用函數(shù)是奇函數(shù)，確定n的值，利用f（

1

2

）=

2

5

，可求m的值；
（2）求導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)大于等于0，可得函數(shù)的單調(diào)性；
（3）確定函數(shù)的最值，利用f（x）_max-f（x）_min≤t，可求t的最小值．

解答：（1）解：∵函數(shù)f（x）=

mx+n

x2+1

為奇函數(shù)，∴對(duì)于定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)x，都有f（-x）=-f（x）
即

-mx+n

x2+1

=-

mx+n

x2+1

，∴-mx+n=-mx-n，∴n=0
∴f（x）=

mx

x2+1

∵f（

1

2

）=

2

5

∴

m× 1 2

( 1 2 )2+1

=

2

5

，∴m=1
∴m=1，n=0；
（2）證明：由（1）知，f（x）=

x

x2+1

，求導(dǎo)函數(shù)可得：f′（x）=

(1-x)(1+x)

(x2+1)2

∵x∈[-1，1]，∴f′（x）≥0，∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，1]上是增函數(shù)；
（3）解：∵函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，1]上是增函數(shù)，
∴f（x）_min=-

1

2

，f（x）_max=

1

2

∵?x₁，x₂∈[-1，1]，|f（x₁）-f（x₂）|≤t恒成立，
∴f（x）_max-f（x）_min≤t
∴t≥1
∴t的最小值為1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的解析式的求解，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查恒成立問題，解題的關(guān)鍵是確定函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最值，屬于中檔題．