Question

如圖，已知ABCD是邊長為2的正方形，DE⊥平面ABCD，BF⊥平面ABCD，且FB=2DE=2．
（1）求點E到平面FBC的距離；
（2）求證：平面AEC⊥平面AFC．

Answer 1

分析：（1）由題意可得：DE∥BF，所以DE∥平面BFC，故點D到平面BFC的距離等于點E到平面BFC的距離．由題意可得DC⊥平面BFC，所以DC即為點D到平面BFC的距離，進而得到答案．
（2）連接BD交AC于O，連接OE、OF，所以AE=EC并且EO⊥AC．又因為在△EOF中，EO=

2+1

=

3

，OF=

2+4

=

6

，EF=3，所以OE⊥OF．又因為OE⊥AC，所以EO⊥平面AFC，根據(jù)面面垂直的判定定理即可得到面面垂直．

解答：解：（1）由題意可得：DE⊥平面ABCD，BF⊥平面ABCD，
所以DE∥BF，
又因為DE?平面BFC，BF?平面BFC，
所以DE∥平面BFC，
故點D到平面BFC的距離等于點E到平面BFC的距離．
因為BF⊥平面ABCD，并且正方形ABCD中，DC⊥BC，
所以DC⊥平面BFC，
所以DC即為點D到平面BFC的距離，
所以點E到平面BFC的距離為2．
（2）連接BD交AC于O，連接OE、OF，
因為DE⊥平面ABCD，AD=DC，
所以AE=EC．
又因為O為AC的中點，
所以EO⊥AC．
又因為在△EOF中，EO=

2+1

=

3

，OF=

2+4

=

6

，EF=3，
所以OE⊥OF．
又因為OE⊥AC，所以EO⊥平面AFC．
又因為OE?平面ACE，
所以平面AEC⊥平面AFC．

點評：解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握幾何體的結(jié)構(gòu)特征以及熟練掌握有關(guān)線面位置關(guān)系的定理．