Question

4．在直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l：$\left\{{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}}\right.$（t為參數(shù)）與橢圓C：$\left\{\begin{array}{l}x=2cosθ\\ y=sinθ\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）相交于不同的兩點(diǎn)A，B．
（Ⅰ）若$α=\frac{π}{3}$，求線段AB中點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（Ⅱ）若$|{AB}|=\sqrt{3}|{OP}|$，其中為橢圓的右焦點(diǎn)P，求直線l的斜率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）將橢圓C化為普通方程得$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，當(dāng)$α=\frac{π}{3}$時(shí)，設(shè)點(diǎn)M對應(yīng)的參數(shù)為t₀，直線l代入方程$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，得$13{t^2}+4\sqrt{3}t-4=0$，由此能求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．
（Ⅱ）$P（{\sqrt{3}，0}）$，將l：$\left\{{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}}\right.$代入方程$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，得$（{{{cos}^2}α+4{{sin}^2}α}）{t^2}+（{2\sqrt{3}cosα}）t-1=0$，由此利用弦長公式能求出直線l的斜率．

解答 解：（Ⅰ）將橢圓C：$\left\{{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}}\right.$化為普通方程得$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，
當(dāng)$α=\frac{π}{3}$時(shí)，設(shè)點(diǎn)M對應(yīng)的參數(shù)為t₀，
直線l的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t}\end{array}}\right.$（t為參數(shù)），
代入方程$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1中，并整理得$13{t^2}+4\sqrt{3}t-4=0$，
設(shè)直線l上的點(diǎn)A，B對應(yīng)的參數(shù)分別為t₁，t₂，${t_1}+{t_2}=-\frac{{4\sqrt{3}}}{13}$，
則${t_0}=\frac{{{t_1}+{t_2}}}{2}=-\frac{{2\sqrt{3}}}{13}$，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為$（{\frac{{12\sqrt{3}}}{13}，-\frac{3}{13}}）$．
（Ⅱ）$P（{\sqrt{3}，0}）$，將l：$\left\{{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}}\right.$代入方程$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$中，
得$（{{{cos}^2}α+4{{sin}^2}α}）{t^2}+（{2\sqrt{3}cosα}）t-1=0$，
∴${t_1}+{t_2}=-\frac{{2\sqrt{3}cosα}}{{{{cos}^2}α+4{{sin}^2}α}}$，${t_1}{t_2}=-\frac{1}{{{{cos}^2}α+4{{sin}^2}α}}$，
∴|AB|=|t₁|+|t₂|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\sqrt{（-\frac{2\sqrt{3}cosα}{co{s}^{2}α+4si{n}^{2}α}）^{2}+\frac{4}{co{s}^{2}α+4si{n}^{2}α}}$
=$\frac{4}{{{{cos}^2}α+4{{sin}^2}}}=\frac{4}{{1+3{{sin}^2}α}}$，
由$|{AB}|=\sqrt{3}|{OP}|$，得$\frac{4}{{1+3{{sin}^2}α}}=3$，
${sin^2}α=\frac{1}{9}$，$sinα=\frac{1}{3}$，$cosα=±\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$，
∴直線l的斜率為$±\frac{{\sqrt{2}}}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查線段中點(diǎn)坐標(biāo)的求法，考查直線的斜率的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓、參數(shù)方程、直線性質(zhì)的合理運(yùn)用．