Question

已知在(x-

1

x

)n的展開式中，奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和為32，則含

1

x2

項(xiàng)的系數(shù)是（　　）

• A、-2
• B、20
• C、-15
• D、15

Answer 1

分析：令二項(xiàng)式中的x分別取1，-1然后兩個(gè)式子相加，求出奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和，列出方程求出n的值，將n的值代入二項(xiàng)式，利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)求出通項(xiàng)，令通項(xiàng)中的x的指數(shù)為-2，求出r的值，將r的值代入通項(xiàng)求出含

1

x2

項(xiàng)的系數(shù)．

解答：解：設(shè)(x-

1

x

)n=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ
令x=1得0═a₀+a₁+a₂+…+a_n
令x=-1得2ⁿ=a₀-a₁+a₂-a₃…+a_n
兩式相加得2^n-1=a₀+a₂+a₄…+a_n
∴2^n-1=32
n-1=5
∴n=6
∴(x-

1

x

)n=(x-

1

x

)6
展開式的通項(xiàng)為T_r+1=（-1）^rC₆^rx^6-2r
令6-2r=-2得r=4
∴展開式含

1

x2

項(xiàng)的系數(shù)是C₆⁴=15
故選D

點(diǎn)評(píng)：求二項(xiàng)展開式的系數(shù)和問題，一般通過觀察先給二項(xiàng)式中的x賦值；求二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)問題，利用的工具是二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式．