Question

如圖，摩天輪的半徑為40m，圓心O距地面的高度為50m，摩天輪做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，每3min轉(zhuǎn)一圈，摩天輪上點(diǎn)P的起始位置在最低點(diǎn)處．
（1）經(jīng)過4分鐘，點(diǎn)P距離地面的高度為多少？
（2）建立如圖所示坐標(biāo)系，求點(diǎn)P距地面的高度h與時(shí)刻t（min）的函數(shù)關(guān)系，
（3）在摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)的一圈內(nèi)，有多長時(shí)間點(diǎn)P距地面超過70m？

Answer 1

分析：（1）因?yàn)槟μ燧喿鰟蛩俎D(zhuǎn)動(dòng)，每3min轉(zhuǎn)一圈，所以4分鐘后P點(diǎn)的位置可以由圖看出，利用解三角形可得P距離地面的高度；
（2）由圖形知，可以以點(diǎn)O在地面上的垂足為原點(diǎn)，OP所在直線為Y軸，過O在地面上的投影且與OP垂直的向右的方向?yàn)閄軸建立坐標(biāo)系，由起始位置在最低點(diǎn)，故可以得出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再由摩天輪作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，每3min轉(zhuǎn)一圈，知T=3，可得角速度為

2π

3

弧度/分，再結(jié)合摩天輪的半徑為40m，O點(diǎn)距地面的高度為50m，即可得出確定在時(shí)刻tmin時(shí)P點(diǎn)距離地面的高度的函數(shù)；
（3）由（2）中的函數(shù)，令函數(shù)值大于70解不等式即可得出P點(diǎn)距離地面超過70m的時(shí)間．

解答：解：（1）因?yàn)槟μ燧喿鰟蛩俎D(zhuǎn)動(dòng)，每3min轉(zhuǎn)一圈，
則經(jīng)過4分鐘P點(diǎn)的位置位于如圖所示：
所以經(jīng)過4分鐘，點(diǎn)P距離地面的高度為50+40×sin30°=50+40×

1

2

=70；
（2）由圖形知，可以以點(diǎn)O在地面上的垂足為原點(diǎn)，OP所在直線為Y軸，
與OP垂直的向右的方向?yàn)閄軸建立坐標(biāo)系，
由題意P（-

π

2

，10），A=40，T=3，可得ω=

2π

3

，
故有點(diǎn)P離地面的高度h=40sin（

2π

3

t-

π

2

）+50
即t時(shí)刻點(diǎn)P離地面的高度h=40sin（

2π

3

t-

π

2

）+50；
（3）令40sin（

2π

3

t-

π

2

）+50＞70得sin（

2π

3

t-

π

2

）＞

1

2

，
即有

π

6

＜

2π

3

t-

π

2

＜

5π

6

，解得1＜t＜2，
在旋轉(zhuǎn)一圈的三分鐘的時(shí)間里，從一分鐘開始高度大于70，二分鐘開始高度小于70，
故高度大于70的時(shí)間一周中有1分鐘．
答：一周中有1分鐘的時(shí)間高度超過70m．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了已知三角函數(shù)模型的應(yīng)用問題，解答本題的關(guān)鍵是建立符合條件的坐標(biāo)系，得出相應(yīng)的函數(shù)模型，作出正確的示意圖，然后再由三角形中的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解，解題時(shí)要注意綜合利用所學(xué)知識(shí)與題中的條件，求解三角形的邊與角，是中檔題．